东南大学 2021年高等代数第10题
📝 题目
10．已知 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶半正定矩阵，证明存在可逆实矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C, C^{\prime} B C$ 同时为对角矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将A合同对角化
由于A是半正定矩阵，存在可逆实矩阵P，使得$P'AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中$r = \mathrm{rank}(A)$。
公式：$P'AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：注意A可能奇异，对角化后右下角为零矩阵。
步骤 2/7
目标：对B进行分块
设$P'BP = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$，其中$B_{11}$为$r \times r$半正定矩阵。
提示：分块大小与A的秩一致。
步骤 3/7
目标：对角化B11
存在正交矩阵$Q_1$使得$Q_1'B_{11}Q_1 = \Lambda = \mathrm{diag}(\mu_1, \dots, \mu_r)$，$\mu_i \ge 0$。令$Q = \begin{pmatrix} Q_1 & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix}$，则$(PQ)'A(PQ) = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$(PQ)'B(PQ) = \begin{pmatrix} \Lambda & * \\ * & B_{22} \end{pmatrix}$。
公式：$Q_1'B_{11}Q_1 = \Lambda$
提示：正交矩阵保持合同变换。
步骤 4/7
目标：处理B中零特征值对应的行和列
由于B半正定，若某$\mu_i = 0$，则B中对应行和列全为零。设$\mu_1, \dots, \mu_s > 0$，$\mu_{s+1} = \dots = \mu_r = 0$，则$(PQ)'B(PQ)$形如$\begin{pmatrix} \Lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B_{22} \end{pmatrix}$，其中$\Lambda_1 = \mathrm{diag}(\mu_1, \dots, \mu_s)$。
提示：半正定性保证零特征值对应的行和列必须为零。
步骤 5/7
目标：缩放B的正特征值部分
令$R = \begin{pmatrix} \Lambda_1^{-1/2} & 0 & 0 \\ 0 & I_{r-s} & 0 \\ 0 & 0 & I_{n-r} \end{pmatrix}$，则$R'(PQ)'A(PQ)R = \begin{pmatrix} I_s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$R'(PQ)'B(PQ)R = \begin{pmatrix} I_s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & B_{22} \end{pmatrix}$。
公式：$\Lambda_1^{-1/2}$
提示：注意$\Lambda_1^{-1/2}$是对角矩阵，其对角元为$\sqrt{\mu_i}$的倒数。
步骤 6/7
目标：对角化B22
由于$B_{22}$半正定，存在正交矩阵$U$使得$U'B_{22}U = \mathrm{diag}(\nu_1, \dots, \nu_{n-r})$，$\nu_i \ge 0$。令$S = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & U \end{pmatrix}$，则$S'R'(PQ)'A(PQ)RS = \begin{pmatrix} I_s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$S'R'(PQ)'B(PQ)RS = \begin{pmatrix} I_s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mathrm{diag}(\nu_i) \end{pmatrix}$。
公式：$U'B_{22}U = \mathrm{diag}(\nu_i)$
提示：U是正交矩阵。
步骤 7/7
目标：得到最终可逆矩阵C
取$C = PQRS$，则$C'AC = \begin{pmatrix} I_s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$C'BC = \begin{pmatrix} I_s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mathrm{diag}(\nu_i) \end{pmatrix}$，均为对角矩阵。因此存在可逆实矩阵C使得$C'AC$和$C'BC$同时为对角矩阵。
公式：$C = PQRS$
提示：注意C是可逆的，因为P、Q、R、S均可逆。
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