东南大学 2023年高等代数第4题
📝 题目
4．已知 $A$ 是元素均为有理数的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle \sqrt{3}$ 为 $A$ 的一个特征值．
（1）证明：$\displaystyle -\sqrt{3}$ 也为 $A$ 的一个特征值；
（2）证明：$\displaystyle n=3$ 时，存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用特征多项式的有理系数性质
设 $f(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ 为 $A$ 的特征多项式。由于 $A$ 的元素均为有理数，故 $f(\lambda)$ 是有理系数多项式。已知 $\sqrt{3}$ 是 $f(\lambda)=0$ 的根，而 $\sqrt{3}$ 是无理数，其最小多项式为 $\lambda^2-3$。
公式：f(\lambda)=\det(\lambda I-A)
提示：注意特征多项式系数由矩阵元素决定，有理数矩阵的特征多项式必为有理系数多项式。
步骤 2/6
目标：应用共轭根定理
由于 $f(\lambda)$ 是有理系数多项式，$\sqrt{3}$ 的共轭 $\sqrt{3}$ 的另一个根 $\sqrt{3}$ 的共轭是 $-\sqrt{3}$，因此 $-\sqrt{3}$ 也是 $f(\lambda)=0$ 的根，从而 $-\sqrt{3}$ 也是 $A$ 的特征值。
提示：共轭根定理：有理系数多项式的无理根成对出现（共轭）。
步骤 3/6
目标：分析三次特征多项式
当 $n=3$ 时，$f(\lambda)$ 是三次有理系数多项式。由（1）知 $\sqrt{3}$ 和 $-\sqrt{3}$ 是 $f(\lambda)=0$ 的两个根，设第三个根为 $\alpha$，则 $f(\lambda)=(\lambda-\sqrt{3})(\lambda+\sqrt{3})(\lambda-\alpha)=(\lambda^2-3)(\lambda-\alpha)$。
公式：f(\lambda)=(\lambda^2-3)(\lambda-\alpha)
提示：三次多项式有三个根（计重数），已知两个，第三个设为 $\alpha$。
步骤 4/6
目标：证明第三个根为有理数
展开 $f(\lambda)=(\lambda^2-3)(\lambda-\alpha)=\lambda^3-\alpha\lambda^2-3\lambda+3\alpha$。由于 $f(\lambda)$ 是有理系数多项式，$\lambda^2$ 项系数 $-\alpha$ 和常数项 $3\alpha$ 均为有理数，故 $\alpha$ 必为有理数。
提示：有理系数多项式的系数都是有理数，由此推出 $\alpha$ 是有理数。
步骤 5/6
目标：排除重根可能性
若 $\alpha=\sqrt{3}$ 或 $\alpha=-\sqrt{3}$，则 $f(\lambda)$ 有重根。但此时 $f(\lambda)$ 的展开式中会出现无理系数（例如 $\alpha=\sqrt{3}$ 时 $\lambda^2$ 系数为 $-\sqrt{3}$），与 $f(\lambda)$ 是有理系数多项式矛盾。因此 $\alpha$ 不能等于 $\pm\sqrt{3}$，故三个特征值互异。
提示：注意检查重根情形是否与有理系数矛盾。
步骤 6/6
目标：利用不同特征值可对角化
由于 $A$ 是 $3$ 阶方阵，且有三个不同的特征值 $\sqrt{3}, -\sqrt{3}, \alpha$（$\alpha$ 为有理数），每个特征值对应的特征向量线性无关，因此 $A$ 可对角化。即存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\sqrt{3}, -\sqrt{3}, \alpha)$。
提示：不同特征值对应的特征向量线性无关，是矩阵可对角化的充分条件。
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