📝 东南大学 2023年高等代数真题

1．已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 解的集合为 $S$ ，其中 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r$ ．证明：$S$ 中存在 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的向量，任意 $\displaystyle n-r+2$ 个向量线性相关．

2．已知矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 0 \\
1 & 2 & -1
\end{array}\right) \text { (数值可能有误) }
$$

证明：存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q A$ 为上三角矩阵，且主对角线元素全为正数．

3．设 $\displaystyle A, B$ 都是二阶实对称矩陏，且 $\displaystyle A, B$ 的行列式都为负数．证明：存在可逆实矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C=B$ ．

4．已知 $A$ 是元素均为有理数的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle \sqrt{3}$ 为 $A$ 的一个特征值．
（1）证明：$\displaystyle -\sqrt{3}$ 也为 $A$ 的一个特征值；
（2）证明：$\displaystyle n=3$ 时，存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．

5．设 $V$ 是数域 $P$ 上所有二阶矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=X^{*}, X \in V$ ，其中 $\displaystyle X^{*}$为 $X$ 的伴随矩阵。
（1）证吅 $f$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵，并求 $V$ 的一组基，使得 $f$ 在该基下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle \Lambda$ ，并求出对角阵。

9．设 $f$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等变换，$\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid f(\alpha)=0\}, V_{2}=\{f(\beta) \mid \beta \in V\}$ ，且 $f$ 在某组基下的矩阵为 $A$ ．证明：
（1）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$ ；
（2）$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和；
（3）$\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

10．设 $f$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的对称变换，即 $\displaystyle (f(\alpha), \beta)=(\alpha, f(\beta))$ 对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ 成立．证明：$f$ 的特征值全为实数，且 $\displaystyle \min _{0 \neq \alpha \in V} \frac{(\alpha, f(\alpha))}{(\alpha, \alpha)}=\lambda_{1}$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{1}$ 为 $f$ 的最小特征值．