东南大学 2023年高等代数第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle A, B$ 都是二阶实对称矩陏，且 $\displaystyle A, B$ 的行列式都为负数．证明：存在可逆实矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C=B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵性质
已知 $A, B$ 是二阶实对称矩阵，且 $\det(A) < 0$，$\det(B) < 0$。实对称矩阵的特征值均为实数，且行列式等于特征值之积，故 $A$ 和 $B$ 的特征值一正一负。
公式：\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 < 0
提示：注意实对称矩阵的特征值都是实数，且行列式为负说明特征值异号。
步骤 2/6
目标：确定惯性指数
由于特征值一正一负，二次型 $x^T A x$ 和 $x^T B x$ 的正惯性指数均为1，负惯性指数均为1，即符号差为0。
公式：正惯性指数 $p=1$，负惯性指数 $q=1$
提示：惯性指数由特征值的正负个数决定，与特征值大小无关。
步骤 3/6
目标：应用Sylvester惯性定理
Sylvester惯性定理指出：两个实对称矩阵合同当且仅当它们有相同的惯性指数。由于 $A$ 和 $B$ 的惯性指数相同（均为 $(1,1)$），因此 $A$ 与 $B$ 合同，即存在可逆实矩阵 $C$ 使得 $C^T A C = B$。
公式：C^T A C = B
提示：合同关系要求矩阵可逆，且变换矩阵 $C$ 是实矩阵。
步骤 4/6
目标：构造标准型
存在可逆实矩阵 $P$ 使得 $P^T A P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$，存在可逆实矩阵 $Q$ 使得 $Q^T B Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。这是因为二次型可化为规范形，且由于惯性指数相同，规范形相同。
公式：P^T A P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad Q^T B Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
提示：规范形中的正负1可以互换，但这里取相同形式。注意 $P$ 和 $Q$ 都是可逆实矩阵。
步骤 5/6
目标：推导合同变换矩阵
由 $P^T A P = Q^T B Q$，两边左乘 $(Q^T)^{-1}$，右乘 $Q^{-1}$ 得 $(PQ^{-1})^T A (PQ^{-1}) = B$。令 $C = PQ^{-1}$，则 $C$ 是可逆实矩阵，且满足 $C^T A C = B$。
公式：C = PQ^{-1}
提示：注意矩阵乘法的顺序，确保 $C$ 可逆。
步骤 6/6
目标：总结证明
因此，存在可逆实矩阵 $C$ 使得 $C^T A C = B$，命题得证。
提示：证明的关键是利用惯性定理和规范形。
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