东南大学 2023年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $V$ 是数域 $P$ 上所有二阶矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=X^{*}, X \in V$ ，其中 $\displaystyle X^{*}$为 $X$ 的伴随矩阵。
（1）证吅 $f$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵，并求 $V$ 的一组基，使得 $f$ 在该基下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle \Lambda$ ，并求出对角阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证线性变换的两个条件
对任意 $X,Y \in V$，$k \in P$，有 $f(X+Y) = (X+Y)^* = X^* + Y^* = f(X) + f(Y)$，$f(kX) = (kX)^* = k X^* = k f(X)$，故 $f$ 是线性变换。
公式：$(X+Y)^* = X^* + Y^*$，$(kX)^* = k X^*$
提示：注意伴随矩阵的线性性质：$(A+B)^* = A^* + B^*$，$(kA)^* = k A^*$。
步骤 2/6
目标：计算基向量的像
计算 $f(E_{11}) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = E_{22}$，$f(E_{12}) = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ -1 & 0\end{pmatrix} = -E_{21}$，$f(E_{21}) = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = -E_{12}$，$f(E_{22}) = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = E_{11}$。
公式：二阶矩阵的伴随矩阵：$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$
提示：注意伴随矩阵的定义，尤其是符号。
步骤 3/6
目标：写出线性变换在基下的矩阵
将像向量用基表示：$f(E_{11}) = 0E_{11}+0E_{12}+0E_{21}+1E_{22}$，$f(E_{12}) = 0E_{11}+0E_{12}+(-1)E_{21}+0E_{22}$，$f(E_{21}) = 0E_{11}+(-1)E_{12}+0E_{21}+0E_{22}$，$f(E_{22}) = 1E_{11}+0E_{12}+0E_{21}+0E_{22}$。因此矩阵为 $A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
提示：矩阵的列对应基向量的像的坐标。
步骤 4/6
目标：求特征多项式
计算 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix}\lambda & 0 & 0 & -1 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & 0 \\ -1 & 0 & 0 & \lambda\end{vmatrix}$。按第一行展开，得 $\lambda \cdot \begin{vmatrix}\lambda & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{vmatrix} + (-1) \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix}0 & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda \\ -1 & 0 & 0\end{vmatrix}$。计算得 $\lambda(\lambda(\lambda^2-1)) + 1 \cdot (-1)(-1)(\lambda^2-1) = \lambda^2(\lambda^2-1) - (\lambda^2-1) = (\lambda^2-1)^2 = (\lambda-1)^2(\lambda+1)^2$。
公式：特征多项式 $|\lambda I - A|$
提示：行列式计算时注意符号和展开方式。
步骤 5/6
目标：求特征值和特征向量
特征值 $\lambda=1$（二重）和 $\lambda=-1$（二重）。
对于 $\lambda=1$，解 $(I-A)X=0$：$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ 行化简得 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，基础解系 $\alpha_1=(1,0,0,1)^T$，$\alpha_2=(0,1,-1,0)^T$。
对于 $\lambda=-1$，解 $(-I-A)X=0$：$\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$ 行化简得 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，基础解系 $\alpha_3=(1,0,0,-1)^T$，$\alpha_4=(0,1,1,0)^T$。
公式：特征方程 $(\lambda I - A)X=0$
提示：注意重特征值的基础解系个数等于几何重数，这里为2。
步骤 6/6
目标：构造新基并得到对角矩阵
将特征向量对应回矩阵：$\alpha_1$ 对应 $E_{11}+E_{22}$，$\alpha_2$ 对应 $E_{12}-E_{21}$，$\alpha_3$ 对应 $E_{11}-E_{22}$，$\alpha_4$ 对应 $E_{12}+E_{21}$。取新基 $B_1=E_{11}+E_{22}$，$B_2=E_{12}-E_{21}$，$B_3=E_{11}-E_{22}$，$B_4=E_{12}+E_{21}$，则 $f$ 在该基下的矩阵为对角阵 $\Lambda = \operatorname{diag}(1,1,-1,-1)$。
提示：注意特征向量与矩阵的对应关系，以及基的顺序。
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