东南大学 2023年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $f$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等变换，$\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid f(\alpha)=0\}, V_{2}=\{f(\beta) \mid \beta \in V\}$ ，且 $f$ 在某组基下的矩阵为 $A$ ．证明：
（1）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$ ；
（2）$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和；
（3）$\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 V = V1 + V2
对任意 $\alpha \in V$，令 $\beta = \alpha - f(\alpha)$。由于 $f$ 是幂等变换，即 $f^2 = f$，则 $f(\beta) = f(\alpha) - f^2(\alpha) = f(\alpha) - f(\alpha) = 0$，故 $\beta \in V_1$。又 $f(\alpha) \in V_2$，且 $\alpha = \beta + f(\alpha)$，因此 $V = V_1 + V_2$。
公式：$f^2 = f$
提示：注意构造 $\beta = \alpha - f(\alpha)$ 是关键，利用幂等性消去项。
步骤 2/5
目标：证明 V1 + V2 是直和
设 $\alpha \in V_1 \cap V_2$，则 $f(\alpha)=0$ 且存在 $\beta \in V$ 使得 $\alpha = f(\beta)$。于是 $0 = f(\alpha) = f(f(\beta)) = f(\beta) = \alpha$，所以 $\alpha = 0$，即 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，故和为直和。
公式：$f(f(\beta)) = f(\beta)$
提示：直和条件即交为零空间，注意利用幂等性推导。
步骤 3/5
目标：分析 f 在子空间上的限制
由直和分解 $V = V_1 \oplus V_2$，对任意 $f(\beta) \in V_2$，有 $f(f(\beta)) = f(\beta)$，故 $f$ 在 $V_2$ 上的限制是恒等映射；在 $V_1$ 上，$f$ 为零映射。
提示：理解 $f$ 在 $V_2$ 上是恒等映射，在 $V_1$ 上是零映射。
步骤 4/5
目标：构造基并写出矩阵
取 $V_1$ 的一组基和 $V_2$ 的一组基，则 $f$ 在该基下的矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_r \end{pmatrix}$，其中 $r = \dim V_2$。
提示：注意矩阵的分块形式，左上角对应 $V_1$ 到 $V_1$ 的映射为零，右下角对应 $V_2$ 到 $V_2$ 的恒等映射。
步骤 5/5
目标：证明 r(A) = r(A^2)
由于 $A$ 相似于 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_r \end{pmatrix}$，故 $r(A) = r$。而 $A^2$ 相似于 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_r \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_r \end{pmatrix}$，所以 $r(A^2) = r$，因此 $r(A) = r(A^2)$。
公式：$A \sim \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_r \end{pmatrix}$
提示：相似矩阵秩相同，注意 $A^2$ 的矩阵形式与 $A$ 相同。
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