东南大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4．$n$ 维欧氏空间 $V$ 上的变换 $f$ 满足对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有
$$
f(\alpha)=a \alpha-b(\alpha, \eta) \eta,\|\eta\|=\sqrt{3}
$$
$\displaystyle a, b$ 取何值时，$f$ 是正交变换？
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：标准化向量η
已知 $\|\eta\| = \sqrt{3}$，令 $\eta = \sqrt{3} \varepsilon$，其中 $\|\varepsilon\| = 1$。则变换化为 $f(\alpha) = a \alpha - b (\alpha, \eta) \eta = a \alpha - 3b (\alpha, \varepsilon) \varepsilon$。
公式：$\eta = \sqrt{3} \varepsilon$，$\|\varepsilon\|=1$
提示：注意系数变化：$(\alpha,\eta) = \sqrt{3}(\alpha,\varepsilon)$，所以 $b(\alpha,\eta)\eta = 3b(\alpha,\varepsilon)\varepsilon$。
步骤 2/6
目标：写出正交变换的条件
$f$ 是正交变换当且仅当对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(f(\alpha), f(\beta)) = (\alpha, \beta)$。
公式：$(f(\alpha), f(\beta)) = (\alpha, \beta)$
提示：正交变换保持内积不变，这是定义。
步骤 3/6
目标：计算内积 $(f(\alpha), f(\beta))$
代入 $f$ 的表达式：
\[
\begin{aligned}
(f(\alpha), f(\beta)) &= (a\alpha - 3b(\alpha,\varepsilon)\varepsilon,\; a\beta - 3b(\beta,\varepsilon)\varepsilon) \\
&= a^2 (\alpha,\beta) - 3ab (\alpha,\varepsilon)(\varepsilon,\beta) - 3ab (\beta,\varepsilon)(\alpha,\varepsilon) + 9b^2 (\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon) \|\varepsilon\|^2 \\
&= a^2 (\alpha,\beta) - 6ab (\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon) + 9b^2 (\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon) \quad (\text{因为 } \|\varepsilon\|=1) \\
&= a^2 (\alpha,\beta) + (9b^2 - 6ab) (\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon).
\end{aligned}
\]
公式：内积的线性性和 $\|\varepsilon\|=1$
提示：注意 $(\varepsilon,\beta) = (\beta,\varepsilon)$，且 $\|\varepsilon\|^2=1$。
步骤 4/6
目标：比较系数得到方程组
要使 $(f(\alpha), f(\beta)) = (\alpha,\beta)$ 对所有 $\alpha,\beta$ 成立，必须 $a^2 = 1$ 且 $9b^2 - 6ab = 0$。
公式：$a^2=1$，$9b^2-6ab=0$
提示：由于 $\alpha,\beta$ 任意，$ (\alpha,\varepsilon)(\beta,\varepsilon)$ 项系数必须为零，且 $ (\alpha,\beta)$ 系数为1。
步骤 5/6
目标：解方程组
由 $a^2=1$ 得 $a = \pm 1$。
- 若 $a=1$，则 $9b^2 - 6b = 0 \Rightarrow 3b(3b-2)=0 \Rightarrow b=0$ 或 $b=\frac{2}{3}$。
- 若 $a=-1$，则 $9b^2 + 6b = 0 \Rightarrow 3b(3b+2)=0 \Rightarrow b=0$ 或 $b=-\frac{2}{3}$。
公式：二次方程求解
提示：注意 $a$ 的正负号影响 $b$ 的符号。
步骤 6/6
目标：总结答案
因此，$f$ 是正交变换当且仅当 $(a,b)$ 为 $(1,0)$、$(1,\frac{2}{3})$、$(-1,0)$ 或 $(-1,-\frac{2}{3})$。即 $a = \pm 1$，且 $b$ 满足 $b=0$ 或 $b = \frac{2}{3}a$。
提示：不要遗漏 $b=0$ 的情况，此时 $f$ 是缩放变换，但 $a=\pm1$ 时是正交变换（恒等或反射）。
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