中南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $x=1+t^{3}, y=\ln (1+t)$ ，求 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别参数方程形式
题目给出参数方程：$x=1+t^{3}$, $y=\ln(1+t)$。我们需要求在 $t=1$ 处的导数 $\frac{dy}{dx}$。
提示：注意区分参数 $t$ 与自变量 $x$，$y$ 是 $t$ 的函数，$x$ 也是 $t$ 的函数。
步骤 2/7
目标：应用参数方程求导公式
对于参数方程 $x=x(t)$, $y=y(t)$，导数公式为：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$，前提是 $dx/dt \neq 0$。
公式：\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}
提示：不要忘记分母 $dx/dt$ 不能为零，否则导数不存在。
步骤 3/7
目标：计算 $dx/dt$
对 $x=1+t^{3}$ 关于 $t$ 求导：$\frac{dx}{dt} = 3t^{2}$。
公式：\frac{d}{dt}(t^n) = n t^{n-1}
提示：常数项 $1$ 的导数为 $0$。
步骤 4/7
目标：计算 $dy/dt$
对 $y=\ln(1+t)$ 关于 $t$ 求导：$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{1+t}$。
公式：\frac{d}{dt} \ln(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dt}
提示：注意复合函数求导，内函数 $u=1+t$ 的导数为 $1$。
步骤 5/7
目标：代入求导公式得到 $dy/dx$
将 $\frac{dy}{dt}$ 和 $\frac{dx}{dt}$ 代入公式：$\frac{dy}{dx} = \frac{1/(1+t)}{3t^{2}} = \frac{1}{3t^{2}(1+t)}$。
公式：\frac{dy}{dx} = \frac{1/(1+t)}{3t^2}
提示：化简时注意分子分母的写法，避免混淆。
步骤 6/7
目标：代入 $t=1$ 求值
将 $t=1$ 代入 $\frac{dy}{dx}$：$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=1} = \frac{1}{3 \cdot 1^{2} \cdot (1+1)} = \frac{1}{3 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{1}{6}$。
提示：代入时注意 $t^2=1$，$1+t=2$，计算要仔细。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此，$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=1} = \frac{1}{6}$。
提示：答案应写成分数形式，不要写成小数。
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