📝 中南大学 2026年高等代数真题

1．设 $x=1+t^{3}, y=\ln (1+t)$ ，求 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=1}$ ．

2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{x^{3}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t}{x^{3}}$ ．

3．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{2 x \ln \left(1+x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

4．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$ 的和．

七．（10 分）设 $\displaystyle S(a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2}(n \pi a)}{n^{3}}, a \in[0,1]$ ．
（1）求 $\displaystyle S(a)$ 的收敛域，并证明在收敛域内 $\displaystyle S(a)$ 一致收玫。
（2）证明：$\displaystyle S(a)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微．
（3）证明：$\displaystyle f(a)=\frac{S(a)}{a^{2}}$ 单调递减．提示：$\displaystyle S^{\prime \prime}(a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \pi^{2} \cos (2 n \pi a)}{n}=-\pi^{2} \ln \left(4 \sin ^{2}(\pi a)\right)$ ．

三．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}, f(1)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=-4$ ．

二．（20 分）设 $\displaystyle f:[0,1]^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ 为连续函数，证明：$f$ 的像为有界闭区间．

五．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ，证明：$\displaystyle \varphi(x)$在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．

八．（10 分）已知在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，在点 $\displaystyle \mathbf{x}_{0}$ 处存在某个电子，由该电子产生的电场为 $\displaystyle \mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}}{\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right\|^{3}}$ ，其中 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{3}$ ，且 $\displaystyle x \neq x_{0}, \varepsilon_{0}$ 是正常数．设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的单连通区域，其边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 为光滑曲面．
（1）求证：$\displaystyle x_{0} \notin \Omega$ 时，电通量 $\displaystyle \Phi=\iint_{\partial \Omega} E \mathrm{~d} S=0$ ．
（2）$\displaystyle x_{0} \in \Omega$ 时，电通量 $\displaystyle \Phi=\iint_{\partial \Omega} \mathbf{E} \mathrm{d} S$ 为常数，求此常数．

六．（10 分）求反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x} \sin b x}{x} \mathrm{~d} x, a>0, b \in \mathbb{R}$ ．

四．（20分）求积分

$$
\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$ ，取曲面的内侧．