中南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将通项分解为部分分式
设 $\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}$，两边乘以 $n(n+2)$ 得 $1 = A(n+2) + B n$，整理得 $1 = (A+B)n + 2A$。
提示：注意部分分式分解时，分母因式要正确，待定系数法要仔细。
步骤 2/6
目标：求解待定系数
比较系数得方程组 $\begin{cases} A+B = 0 \\ 2A = 1 \end{cases}$，解得 $A = \frac{1}{2}$，$B = -\frac{1}{2}$。因此 $\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$。
提示：解方程组时注意符号，B为负值。
步骤 3/6
目标：写出部分和表达式
部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$。
提示：注意求和符号与系数1/2的乘法。
步骤 4/6
目标：裂项相消展开求和
展开：$S_N = \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N-1} - \frac{1}{N+1}\right) + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+2}\right) \right]$。
提示：展开时注意项数，不要遗漏。
步骤 5/6
目标：合并消去项
观察发现，从 $\frac{1}{3}$ 到 $\frac{1}{N}$ 的项正负相消，剩下 $1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2}$，因此 $S_N = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2}\right)$。
提示：注意哪些项被消去，哪些项保留，特别是首尾项。
步骤 6/6
目标：取极限求级数和
当 $N \to \infty$ 时，$\frac{1}{N+1} \to 0$，$\frac{1}{N+2} \to 0$，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)} = \lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}$。
提示：极限计算时注意分母趋向无穷大，分数趋向0。
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