中南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六．（10 分）求反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x} \sin b x}{x} \mathrm{~d} x, a>0, b \in \mathbb{R}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入含参积分并求导
定义 $I(a,b) = \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x} \sin(b x)}{x} \, dx$，其中 $a>0$，$b \in \mathbb{R}$。对参数 $b$ 求导，利用积分号下求导法则（Leibniz 法则），得到 $\frac{\partial I}{\partial b} = \int_{0}^{+\infty} e^{-a x} \cos(b x) \, dx$。
公式：Leibniz 积分法则：$\frac{d}{db} \int_{0}^{\infty} f(x,b) dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial f}{\partial b} dx$
提示：注意验证积分一致收敛性以保证求导与积分可交换。这里 $e^{-ax}\sin(bx)/x$ 在 $x=0$ 处可去奇点，且 $a>0$ 保证指数衰减，因此一致收敛条件满足。
步骤 2/5
目标：计算导数积分
计算 $\int_{0}^{+\infty} e^{-a x} \cos(b x) \, dx$。利用欧拉公式 $\cos(bx) = \operatorname{Re}(e^{ibx})$，则积分化为 $\operatorname{Re} \int_{0}^{+\infty} e^{-(a - i b)x} \, dx = \operatorname{Re} \left( \frac{1}{a - i b} \right)$。计算实部得 $\frac{a}{a^2 + b^2}$。
公式：$\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x} dx = \frac{1}{\alpha}$，其中 $\operatorname{Re}(\alpha) > 0$
提示：注意 $a - ib$ 的实部为 $a>0$，因此积分收敛。计算实部时，$\frac{1}{a-ib} = \frac{a+ib}{a^2+b^2}$，实部为 $\frac{a}{a^2+b^2}$。
步骤 3/5
目标：对 b 积分得到 I(a,b) 表达式
由 $\frac{\partial I}{\partial b} = \frac{a}{a^2 + b^2}$，对 $b$ 积分得 $I(a,b) = \int_{0}^{b} \frac{a}{a^2 + t^2} \, dt + C(a)$。计算积分：$\int_{0}^{b} \frac{a}{a^2 + t^2} \, dt = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$。因此 $I(a,b) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) + C(a)$。
公式：$\int \frac{a}{a^2 + t^2} dt = \arctan\left(\frac{t}{a}\right) + C$
提示：积分下限取 0 是为了方便利用初始条件确定常数。注意 $\arctan$ 的主值范围。
步骤 4/5
目标：确定常数 C(a)
令 $b=0$，则 $I(a,0) = \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x} \cdot 0}{x} \, dx = 0$。代入表达式得 $0 = \arctan(0) + C(a) = 0 + C(a)$，所以 $C(a)=0$。
提示：注意 $\arctan(0)=0$，且 $I(a,0)$ 被积函数为 0，积分结果为 0。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此 $I(a,b) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$。即 $\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x} \sin(b x)}{x} \, dx = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$，其中 $a>0$，$b \in \mathbb{R}$。
提示：结果与 $a$ 和 $b$ 的符号有关：当 $b>0$ 时 $\arctan(b/a) \in (0,\pi/2)$；当 $b<0$ 时结果为负。
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