中南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．（10 分）已知在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，在点 $\displaystyle \mathbf{x}_{0}$ 处存在某个电子，由该电子产生的电场为 $\displaystyle \mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}}{\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right\|^{3}}$ ，其中 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{3}$ ，且 $\displaystyle x \neq x_{0}, \varepsilon_{0}$ 是正常数．设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的单连通区域，其边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 为光滑曲面．
（1）求证：$\displaystyle x_{0} \notin \Omega$ 时，电通量 $\displaystyle \Phi=\iint_{\partial \Omega} E \mathrm{~d} S=0$ ．
（2）$\displaystyle x_{0} \in \Omega$ 时，电通量 $\displaystyle \Phi=\iint_{\partial \Omega} \mathbf{E} \mathrm{d} S$ 为常数，求此常数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解电场表达式和散度性质
电场为 $\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}_0}{\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\|^3}$，其中 $\mathbf{x}_0$ 是点电荷位置。除 $\mathbf{x}_0$ 外，计算散度：$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$（因为点电荷电场在无源点散度为零）。
公式：$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ 对于 $\mathbf{x} \neq \mathbf{x}_0$
提示：注意散度为零仅在无源点成立，$\mathbf{x}_0$ 是奇点。
步骤 2/6
目标：应用高斯散度定理于情况（1）
当 $\mathbf{x}_0 \notin \Omega$ 时，$\mathbf{E}$ 在 $\Omega$ 内处处可微且散度为零。由高斯散度定理：$\Phi = \iint_{\partial\Omega} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{E} \, \mathrm{d}V = 0$。
公式：$\iint_{\partial\Omega} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V$
提示：确保 $\Omega$ 内无奇点才能应用散度定理。
步骤 3/6
目标：处理情况（2）中奇点问题
当 $\mathbf{x}_0 \in \Omega$ 时，$\mathbf{E}$ 在 $\mathbf{x}_0$ 处有奇点，不能直接应用散度定理。以 $\mathbf{x}_0$ 为球心、半径 $\varepsilon$ 作小球 $B_\varepsilon$，使得 $B_\varepsilon \subset \Omega$。考虑区域 $\Omega \setminus B_\varepsilon$，其边界为 $\partial\Omega$ 和 $\partial B_\varepsilon$（外法向指向球心）。
提示：小球半径 $\varepsilon$ 要足够小，完全包含在 $\Omega$ 内。
步骤 4/6
目标：在无奇点区域应用散度定理
在区域 $\Omega \setminus B_\varepsilon$ 上，$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$，由散度定理：$\iint_{\partial\Omega} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} + \iint_{\partial B_\varepsilon} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}_{\text{内}} = 0$，其中 $\mathrm{d}\mathbf{S}_{\text{内}}$ 指向球内。由于 $\mathrm{d}\mathbf{S}_{\text{内}} = -\mathrm{d}\mathbf{S}_{\text{外}}$，得 $\iint_{\partial\Omega} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_{\partial B_\varepsilon} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}_{\text{外}}$。
公式：$\iint_{\partial\Omega} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_{\partial B_\varepsilon} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}_{\text{外}}$
提示：注意内外法向的符号转换。
步骤 5/6
目标：计算小球面上的电通量
在球面 $\partial B_\varepsilon$ 上，$\mathbf{r} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_0$，$r = \varepsilon$，外法向 $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{r}$。电场 $\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\mathbf{r}}{r^3}$，所以 $\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1}{r^2} \cdot r^2 \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$。
公式：$\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$
提示：球面面积元 $\mathrm{d}S = r^2 \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$，法向与径向一致。
步骤 6/6
目标：积分得到电通量常数
对球面积分：$\Phi = \iint_{\partial B_\varepsilon} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi \int_0^\pi \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot 2\pi \cdot 2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$。
公式：$\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi = 2\pi$, $\int_0^\pi \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = 2$
提示：注意积分限和结果化简。
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