中南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{2 x \ln \left(1+x^{2}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：换元简化积分
令 $t = 1 + x^2$，则 $dt = 2x dx$。当 $x=0$ 时 $t=1$，当 $x \to +\infty$ 时 $t \to +\infty$。原积分化为：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{2x \ln(1+x^2)}{(1+x^2)^2} dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2} dt.$$
公式：$t = 1 + x^2$, $dt = 2x dx$
提示：注意换元后积分限的变化：$x=0$ 对应 $t=1$，$x\to+\infty$ 对应 $t\to+\infty$。
步骤 2/6
目标：选择分部积分法
对于积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2} dt$，由于被积函数是 $\ln t$ 与 $t^{-2}$ 的乘积，且 $\ln t$ 的导数简单，$t^{-2}$ 的原函数容易求得，因此使用分部积分法。令 $u = \ln t$，$dv = t^{-2} dt$，则 $du = \frac{1}{t} dt$，$v = -t^{-1}$。
公式：分部积分公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：分部积分时，选择 $u$ 和 $dv$ 的原则：$u$ 的导数简单，$dv$ 容易积分。这里 $\ln t$ 的导数是 $1/t$，$t^{-2}$ 的原函数是 $-t^{-1}$。
步骤 3/6
目标：应用分部积分公式
根据分部积分公式：
$$\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2} dt = \left[ -\frac{\ln t}{t} \right]_{1}^{+\infty} + \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2} dt.$$
公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意符号：$uv$ 项为 $\ln t \cdot (-t^{-1}) = -\frac{\ln t}{t}$，减去 $\int v du$ 时，$v du = (-t^{-1}) \cdot \frac{1}{t} dt = -\frac{1}{t^2} dt$，减去负号得正。
步骤 4/6
目标：计算边界项
计算 $\left[ -\frac{\ln t}{t} \right]_{1}^{+\infty}$：
- 当 $t \to +\infty$ 时，$\frac{\ln t}{t} \to 0$（因为对数增长慢于幂函数），所以 $-\frac{\ln t}{t} \to 0$。
- 当 $t=1$ 时，$-\frac{\ln 1}{1} = 0$。
因此边界项为 $0 - 0 = 0$。
公式：极限 $\lim_{t\to+\infty} \frac{\ln t}{t} = 0$
提示：注意 $\ln 1 = 0$，所以下界代入也为0。
步骤 5/6
目标：计算剩余积分
计算 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2} dt$：
$$\int_{1}^{+\infty} t^{-2} dt = \left[ -t^{-1} \right]_{1}^{+\infty} = \left( -\frac{1}{+\infty} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) = 0 + 1 = 1.$$
公式：$\int t^{-2} dt = -t^{-1}$
提示：注意 $\frac{1}{+\infty} = 0$，且下界代入时负负得正。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将边界项和剩余积分相加：$0 + 1 = 1$。因此原积分的值为 $1$。
提示：最终结果是一个常数，注意检查积分是否收敛。
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