中南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ，证明：$\displaystyle \varphi(x)$在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用f的一致连续性得到δ₁
由于$f(x)$在$[1,+\infty)$上一致连续，则对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta_1>0$，使得对任意$x',x''\in[1,+\infty)$，当$|x'-x''|<\delta_1$时，有$|f(x')-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：一致连续定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x',x''\in I,|x'-x''|<\delta\Rightarrow|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$
提示：注意一致连续定义中的δ只依赖于ε，不依赖于点。
步骤 2/7
目标：利用极限条件得到M
因为$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$，所以存在$M>0$，使得当$x\geq M$时，有$|f(x)-\varphi(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：极限定义：$\lim_{x\to+\infty}g(x)=0\iff\forall\varepsilon>0,\exists M>0,\forall x\geq M,|g(x)|<\varepsilon$
提示：注意M的选取依赖于ε，且要保证后续讨论中区间覆盖。
步骤 3/7
目标：考虑闭区间上的连续得到δ₂
由于$\varphi(x)$在闭区间$[1,M+1]$上连续，从而一致连续，故存在$\delta_2>0$，使得对任意$x',x''\in[1,M+1]$，当$|x'-x''|<\delta_2$时，有$|\varphi(x')-\varphi(x'')|<\varepsilon$。
公式：闭区间上连续函数一致连续（Cantor定理）
提示：注意区间右端点取M+1是为了覆盖x'或x''略大于M的情况。
步骤 4/7
目标：取δ为最小值
取$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,1\}$，则对任意$x',x''\in[1,+\infty)$且$|x'-x''|<\delta$，分两种情况讨论。
提示：δ取最小值确保同时满足三个条件；加上1是为了控制距离，使x''不小于M-1。
步骤 5/7
目标：情况1：两点都在[1, M+1]内
若$x',x''\in[1,M+1]$，则由$\delta\leq\delta_2$及$\varphi$在$[1,M+1]$上的一致连续性，直接得$|\varphi(x')-\varphi(x'')|<\varepsilon$。
提示：注意这里直接使用δ₂，不需要再拆分。
步骤 6/7
目标：情况2：至少有一点大于M
不妨设$x'\geq M$，则由$|x'-x''|<\delta\leq1$得$x''\geq M-1$。于是利用三角不等式：
$$|\varphi(x')-\varphi(x'')|\leq|\varphi(x')-f(x')|+|f(x')-f(x'')|+|f(x'')-\varphi(x'')|$$
由于$x'\geq M$，$x''\geq M-1$，但$x''$可能小于M，故需分情况：
- 若$x''\geq M$，则三项均$<\frac{\varepsilon}{3}$；
- 若$x''M-1$，但可能小于M。为了应用极限条件，我们应取更大的M或调整区间。
标准做法：取$M$使得当$x\geq M-1$时也有$|f(x)-\varphi(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$？但极限条件只保证从某点之后，我们可以取$M'=M+1$，则当$x\geq M'$时成立。但这里我们已有$M$，可令$M_1=M+1$，则当$x\geq M_1$时$|f(x)-\varphi(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$。然后取$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,1\}$，并考虑$x'\geq M_1$的情况。但原题中M是任意的，我们可以重新定义M。
更简洁：由于$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$，存在$M>0$使得当$x\geq M$时$|f(x)-\varphi(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$。取$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,1\}$，则当$x'\geq M+1$时，由$|x'-x''|<\delta\leq1$得$x''\geq M$，从而三项均$<\frac{\varepsilon}{3}$。若$x'\in[M, M+1]$，则$x''\in[M-1, M+2]$，但$x''$可能小于M，此时$|f(x'')-\varphi(x'')|$不一定小于$\frac{\varepsilon}{3}$。因此需要更细致的处理。
标准证明：将区间分为$[1, M+1]$和$[M, +\infty)$，并取$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,1\}$。当两点都在$[1, M+1]$时由情况1；当两点都在$[M, +\infty)$时，由$|x'-x''|<\delta\leq\delta_1$及极限条件可得$|\varphi(x')-\varphi(x'')|<\varepsilon$；当一点在$[1, M+1]$另一点在$[M, +\infty)$时，由于$|x'-x''|<\delta\leq1$，两点必同时在$[M, M+1]$内（因为距离小于1），从而属于情况2的范畴。因此只需考虑两点都在$[M, +\infty)$的情况。
故不妨设$x',x''\geq M$，则
$$|\varphi(x')-\varphi(x'')|\leq|\varphi(x')-f(x')|+|f(x')-f(x'')|+|f(x'')-\varphi(x'')|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.$$
公式：三角不等式：$|a-b|\leq|a-c|+|c-d|+|d-b|$
提示：注意确保x'和x''都大于等于M，否则不能直接用极限条件。通过取δ≤1和适当调整M可保证。
步骤 7/7
目标：总结一致连续性
因此，对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,1\}>0$，使得对任意$x',x''\in[1,+\infty)$，当$|x'-x''|<\delta$时，有$|\varphi(x')-\varphi(x'')|<\varepsilon$。故$\varphi(x)$在$[1,+\infty)$上一致连续。
提示：注意δ的选取要同时满足两个区间的情况。
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