中南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}, f(1)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=-4$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数
为了利用已知条件，构造辅助函数 $F(x)=f(x)+2x^2$。则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上二阶可导。
公式：F(x)=f(x)+2x^2
提示：辅助函数的选择是关键，需要使得最终结果出现 $f''(\xi)=-4$。
步骤 2/6
目标：计算辅助函数在给定点的值
计算 $F(0)=f(0)+0=0$，$F(1)=f(1)+2=2$，$F\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)+2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。
提示：注意 $f(0)=0$，$f(1)=0$，$f(1/2)=1/2$。
步骤 3/6
目标：在区间 $[0,1/2]$ 上应用拉格朗日中值定理
由拉格朗日中值定理，存在 $\eta_1\in(0,\frac{1}{2})$ 使得 $F'(\eta_1)=\frac{F(\frac{1}{2})-F(0)}{\frac{1}{2}-0}=\frac{1-0}{\frac{1}{2}}=2$。
公式：F'(\eta_1)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}
提示：确保区间端点值正确，且分母不为零。
步骤 4/6
目标：在区间 $[1/2,1]$ 上应用拉格朗日中值定理
存在 $\eta_2\in(\frac{1}{2},1)$ 使得 $F'(\eta_2)=\frac{F(1)-F(\frac{1}{2})}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2-1}{\frac{1}{2}}=2$。
公式：F'(\eta_2)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}
提示：注意 $F(1)=2$，$F(1/2)=1$。
步骤 5/6
目标：在区间 $[\eta_1,\eta_2]$ 上应用罗尔定理
由于 $F'(\eta_1)=F'(\eta_2)=2$，由罗尔定理，存在 $\xi\in(\eta_1,\eta_2)\subset(0,1)$ 使得 $F''(\xi)=0$。
公式：F''(\xi)=0
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续，开区间可导，且端点函数值相等。
步骤 6/6
目标：推导 $f''(\xi)$ 的值
计算 $F''(x)=f''(x)+4$，代入 $\xi$ 得 $f''(\xi)+4=0$，即 $f''(\xi)=-4$。
公式：F''(x)=f''(x)+4
提示：注意二阶导数的线性性质。
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