中南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．（20 分）设 $\displaystyle f:[0,1]^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ 为连续函数，证明：$f$ 的像为有界闭区间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与目标
已知 $f:[0,1]^3 \to \mathbb{R}$ 是连续函数，需要证明 $f$ 的像（值域）是一个有界闭区间。
提示：注意定义域是三维闭立方体，是紧集且连通。
步骤 2/6
目标：利用紧集上连续函数的性质得到有界性与最值存在
由于 $[0,1]^3$ 是 $
\mathbb{R}^3$ 中的紧集（有界闭集），而 $f$ 连续，根据紧集上连续函数的性质，$f$ 在 $[0,1]^3$ 上有界且取得最大值和最小值。即存在 $x_{\max}, x_{\min} \in [0,1]^3$ 使得 $f(x_{\max}) = \max_{x \in [0,1]^3} f(x)$，$f(x_{\min}) = \min_{x \in [0,1]^3} f(x)$。
公式：紧集上连续函数必有界且取得最值
提示：紧集在 $
\mathbb{R}^n$ 中等价于有界闭集；连续函数在紧集上一致连续，但这里只需最值存在。
步骤 3/6
目标：定义最小值和最大值
令 $m = f(x_{\min})$，$M = f(x_{\max})$，则显然 $f([0,1]^3) \subseteq [m, M]$，因为所有函数值都在最小值和最大值之间。
提示：注意 $m \leq M$，且 $m$ 和 $M$ 都是有限实数。
步骤 4/6
目标：证明像集包含整个区间 $[m, M]$
需要证明对任意 $y \in [m, M]$，存在 $x \in [0,1]^3$ 使得 $f(x)=y$。这需要用到介值定理，但介值定理通常用于区间上的连续函数。这里定义域是 $[0,1]^3$，它是连通的（实际上是凸集，从而道路连通）。连续函数将连通集映射为连通集，而 $
\mathbb{R}$ 中的连通集就是区间。因此 $f([0,1]^3)$ 是 $
\mathbb{R}$ 中的一个区间，且包含 $m$ 和 $M$，所以它必然包含整个 $[m, M]$。
公式：连通集在连续映射下的像仍是连通集
提示：也可以直接构造路径：取 $x_{\min}$ 和 $x_{\max}$ 之间的线段，利用一元介值定理，但需注意路径的像可能不覆盖所有中间值，因此用连通性更严谨。
步骤 5/6
目标：结合两方面得到像集等于闭区间
由步骤3得 $f([0,1]^3) \subseteq [m, M]$，由步骤4得 $[m, M] \subseteq f([0,1]^3)$，因此 $f([0,1]^3) = [m, M]$，即 $f$ 的像为有界闭区间。
提示：注意区间端点 $m$ 和 $M$ 确实被取到，所以是闭区间。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$f$ 的像为闭区间 $[\min f, \max f]$，其中 $\min f = \min_{x \in [0,1]^3} f(x)$，$\max f = \max_{x \in [0,1]^3} f(x)$。
提示：最终答案应明确写出像集是闭区间。
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