中南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．（20分）求积分
$$
\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$ ，取曲面的内侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别曲面方向与高斯公式的适用性
题目中曲面Σ为球面$x^2+y^2+z^2=25$，取内侧。高斯公式通常用于外侧曲面，内侧与外侧法向量相反，因此应用高斯公式时需添加负号。
提示：注意曲面方向：内侧法向量指向球心，与外侧相反。
步骤 2/6
目标：写出高斯公式的标准形式
对于封闭曲面Σ（取外侧），高斯公式为：
$$\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$$
其中Ω是Σ所围成的区域。
公式：$$\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_{\Omega} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$$
提示：高斯公式要求曲面封闭且取外侧，本题为内侧，需调整符号。
步骤 3/6
目标：确定被积函数与散度
由积分表达式$\iint_{\Sigma} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy$，可知$P=x$，$Q=y$，$R=z$。计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=1$$
因此散度为$1+1+1=3$。
公式：$$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=3$$
提示：正确识别P、Q、R，注意对应关系：P对应dy dz，Q对应dz dx，R对应dx dy。
步骤 4/6
目标：应用高斯公式并考虑内侧方向
由于曲面取内侧，与高斯公式要求的外侧相反，因此积分值等于负的三重积分：
$$I = \iint_{\Sigma_{\text{内}}} x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = -\iiint_{\Omega} 3\,dV$$
其中Ω为球体$x^2+y^2+z^2 \leq 25$。
公式：$$I = -\iiint_{\Omega} 3\,dV$$
提示：内侧曲面法向与外侧相反，故加负号。
步骤 5/6
目标：计算三重积分
球体体积为$V = \frac{4}{3}\pi R^3$，其中半径$R=5$，所以$V = \frac{4}{3}\pi \times 125 = \frac{500}{3}\pi$。因此三重积分：
$$\iiint_{\Omega} 3\,dV = 3 \times \frac{500}{3}\pi = 500\pi$$
公式：$$\iiint_{\Omega} dV = \frac{4}{3}\pi R^3$$
提示：注意球体体积公式中半径的立方，$5^3=125$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
代入负号得：
$$I = -500\pi$$
因此所求积分为$-500\pi$。
提示：最终答案需包含负号，并注意书写格式。
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