中国科学院大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．直线 $\left\{\begin{array}{l}6 x-2 y+3 z=9, \\ 3 x-3 y+z=6 .\end{array}\right.$ 求点 $(0,0,0)$ 到该直线的距离 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求直线的方向向量
直线由两个平面方程给出，其方向向量 $\mathbf{s}$ 与两平面的法向量 $\mathbf{n}_1=(6,-2,3)$ 和 $\mathbf{n}_2=(3,-3,1)$ 均垂直，故取 $\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$。计算叉乘：
$$\mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & -2 & 3 \\ 3 & -3 & 1 \end{vmatrix} = ( (-2)\cdot1 - 3\cdot(-3),\ 3\cdot3 - 6\cdot1,\ 6\cdot(-3) - (-2)\cdot3 ) = (7, 3, -12).$$
公式：$\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$
提示：叉乘计算时注意符号，避免行列式展开错误。
步骤 2/7
目标：求直线上一点
令 $z=0$，代入直线方程得 $\begin{cases}6x-2y=9\\3x-3y=6\end{cases}$。解方程组：由第二式得 $x-y=2$，即 $x=y+2$，代入第一式得 $6(y+2)-2y=9$，即 $6y+12-2y=9$，$4y=-3$，$y=-\frac{3}{4}$，则 $x=\frac{5}{4}$。但答案中取 $x=1,y=-1$，检查发现：若 $x=1,y=-1$，代入第一式 $6+2=8\neq9$，故答案有误。正确解：由 $\begin{cases}6x-2y=9\\3x-3y=6\end{cases}$，第二式除以3得 $x-y=2$，即 $x=y+2$，代入第一式 $6(y+2)-2y=9$，$4y=-3$，$y=-\frac{3}{4}$，$x=\frac{5}{4}$。故直线上一点 $P_0=(\frac{5}{4},-\frac{3}{4},0)$。
提示：解方程组时需仔细计算，避免代数错误。
步骤 3/7
目标：计算向量 $\overrightarrow{P_0P}$
点 $P=(0,0,0)$，$P_0=(\frac{5}{4},-\frac{3}{4},0)$，则 $\overrightarrow{P_0P} = P - P_0 = (-\frac{5}{4}, \frac{3}{4}, 0)$。
公式：$\overrightarrow{P_0P} = P - P_0$
提示：注意向量方向：从 $P_0$ 指向 $P$。
步骤 4/7
目标：计算叉乘 $\overrightarrow{P_0P} \times \mathbf{s}$
计算 $\overrightarrow{P_0P} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{5}{4} & \frac{3}{4} & 0 \\ 7 & 3 & -12 \end{vmatrix}$。展开：
$$\mathbf{i}\left(\frac{3}{4}\cdot(-12) - 0\cdot3\right) - \mathbf{j}\left((-\frac{5}{4})\cdot(-12) - 0\cdot7\right) + \mathbf{k}\left((-\frac{5}{4})\cdot3 - \frac{3}{4}\cdot7\right)$$
$$= \mathbf{i}(-9) - \mathbf{j}(15) + \mathbf{k}(-\frac{15}{4} - \frac{21}{4}) = (-9, -15, -9).$$
公式：$\overrightarrow{P_0P} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$
提示：叉乘时注意符号和分数运算，避免计算错误。
步骤 5/7
目标：计算叉乘的模长
$$|\overrightarrow{P_0P} \times \mathbf{s}| = \sqrt{(-9)^2 + (-15)^2 + (-9)^2} = \sqrt{81 + 225 + 81} = \sqrt{387} = 3\sqrt{43}.$$
公式：$|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
提示：开平方时注意化简根号。
步骤 6/7
目标：计算方向向量的模长
$$|\mathbf{s}| = \sqrt{7^2 + 3^2 + (-12)^2} = \sqrt{49 + 9 + 144} = \sqrt{202}.$$
公式：$|\mathbf{s}| = \sqrt{s_1^2 + s_2^2 + s_3^2}$
提示：注意平方和计算准确。
步骤 7/7
目标：计算点到直线的距离
点到直线的距离公式：$d = \frac{|\overrightarrow{P_0P} \times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}$。代入得：
$$d = \frac{3\sqrt{43}}{\sqrt{202}} = \sqrt{\frac{9\cdot43}{202}} = \sqrt{\frac{387}{202}}.$$
公式：$d = \frac{|\overrightarrow{P_0P} \times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}$
提示：最终结果可化简为 $\sqrt{\frac{387}{202}}$，无需进一步有理化。
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