📝 中国科学院大学 2026年高等代数真题

1．直线 $\left\{\begin{array}{l}6 x-2 y+3 z=9, \\ 3 x-3 y+z=6 .\end{array}\right.$ 求点 $(0,0,0)$ 到该直线的距离 $\_\_\_\_$ ．

2．直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-z=2, \\ 3 x-y+z=3 .\end{array}\right.$ 求该直线绕 $y$ 轴旋转所得旋转曲面的方程 $\_\_\_\_$ ．

3．设 $|A|=\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & -7 \\ 2 & 7 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 17 & 16 & 19 & 11\end{array}\right|$ ，求 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=$ $\_\_\_\_$ ．

4．已知 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3\end{array}\right)$ ，求原矩阵 $A=$ $\_\_\_\_$ ．

5．在三次多项式空间 $P[x]_{3}$ 中，求多项式 $1+x+x^{2}+x^{3}$ 在基 $\left\{2,1+x,-x+2 x^{2}, x+x^{3}\right\}$ 下的坐标 $\_\_\_\_$。

6．二次型 $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范型为 $\_\_\_\_$ ．

7．矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}13 & 16 & 16 \\ -5 & -7 & -6 \\ -6 & -8 & -7\end{array}\right)$ 的若尔当标准型为 $\_\_\_\_$。

8．设 $M=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ ，线性变换 $\mathscr{A}$ 满足 $\mathscr{A} x=M x$ ，求 $\mathscr{A}$ 的特征值及重数 $\_\_\_\_$ ．

9．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2026 & 2 & -2 \\ 2 & 2029 & -4 \\ -2 & -4 & 2029\end{array}\right)$ ，记 $M=\left\{B \in M_{3}(\mathbb{R}) \mid A B=B A\right\}$（即所有与 $A$ 可交换的 3 阶实矩阵构成的集合），求 $\operatorname{dim} M=$ $\_\_\_\_$ ．

10．在欧氏空间中，向量 $d_{1}=(1,1,1,-1), d_{2}=(2,0,-2,0)$ 张成的子空间为 $V$ ，求向量 $\beta=(1,-1,1,0)$在 $V$ 上的投影向量 $\_\_\_\_$ ．

1．设矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1+a & 1 & \cdots & 1 \\
2 & 2+a & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
n & n & \cdots & n+a
\end{array}\right) .
$$

求 $\operatorname{det} A$ ，判断 $a$ 为何值时，$A X=0$ 有非零解，并求该非零解．

2．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & a & 5\end{array}\right)$ 有二重特征值，判断 $a$ 为何值时 $A$ 可对角化，并求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角阵．

3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right)$ ．
（1）求上三角矩阵 $B$ 与正交矩阵 $Q$ ，使得 $A=B Q$ ．
（2）判断 $B, Q$ 是否唯一？若不唯一则有几对？并论证理由．

4．设 $A$ 为 $n$ 阶可逆实方阵，且 $\operatorname{tr}(A)=n$ ，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 是对角元全为 1 的矩阵。

5．设 $A$ 为 $n$ 阶可逆复矩阵，记 $A=\left(\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{array}\right)$ ，其中 $A_{11}$ 为 $m \times(n-m)$ 型矩阵 $(1<m<n)$ ，若 $A_{21}$ 在 $A$ 中所有到代数余子式全为 0 ，证明：$n \leq 2 m$ ．

6．设 $A$ 为元素全为整数的对称方阵，且对任意非零行向量 $z$（其分量均为非负整数），总有 $z A z^{\mathrm{T}} \geq 0$ ．
（1）证明：对任意非零行向量 $z$（其分量均为非负实数），总有 $z A z^{\mathrm{T}} \geq 0$ ．
（2）判断：是否存在非零行向量 $z$（其分量均为非负整数），使得 $z A z^{\mathrm{T}}=0$ 。