中国科学院大学 2026年高等代数第0题

二次型 $f = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_2x_3$ 的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$。

计算特征多项式 $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$。将第2、3列加到第1列，得 $\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ \lambda & \lambda-2 & 1 \\ \lambda & 1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$，提取第1列公因子 $\lambda$，得 $\lambda \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$。

将第1行乘以-1加到第2、3行，得 $\lambda \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-3 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-3 \end{vmatrix} = \lambda (\lambda-3)^2$。因此特征多项式为 $\lambda (\lambda-3)^2 = 0$？注意：这里计算有误，应重新计算。实际上，正确计算：$|\lambda E - A| = (\lambda-2)^3 + 2 - 3(\lambda-2) = (\lambda-2)^3 - 3(\lambda-2) + 2$。令 $t=\lambda-2$，则 $t^3 - 3t + 2 = (t-1)^2(t+2)$，所以 $|\lambda E - A| = (\lambda-3)^2(\lambda-0)$？不对，重新计算：$t^3-3t+2=(t-1)^2(t+2)$，则 $\lambda-2=1$ 得 $\lambda=3$，$\lambda-2=-2$ 得 $\lambda=0$。但答案给出特征值为1,1,4，矛盾。正确计算：$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$，将第2、3行加到第1行，得 $\begin{vmatrix} \lambda & \lambda & \lambda \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda-2 \end{vmatrix} = \lambda \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$，然后第1行乘以-1加到第2、3行，得 $\lambda \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-3 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-3 \end{vmatrix} = \lambda (\lambda-3)^2$。所以特征值为 $\lambda=0,3,3$。但答案给出1,1,4，说明矩阵不同？检查题目：二次型 $2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3$，矩阵应为 $\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$，特征多项式 $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$，计算得 $(\lambda-1)^2(\lambda-4)=0$，特征值1,1,4。我的计算错误：在提取公因子后，应得到 $\lambda \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda-2 \end{vmatrix}$，然后第1行乘以-1加到第2、3行，得 $\lambda \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-3 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-3 \end{vmatrix} = \lambda (\lambda-3)^2$，但这是错误的，因为第1行乘以-1加到第2行时，第2行第1列变为 $1-1=0$，第2行第2列变为 $(\lambda-2)-1 = \lambda-3$，第2行第3列变为 $1-1=0$，正确。但这样得到 $\lambda(\lambda-3)^2$，与答案不符。检查原矩阵：$A$ 的迹为 $2+2+2=6$，特征值之和应为6，若特征值为1,1,4，和为6；若为0,3,3，和也为6。但行列式：$|A| = 2*(4-1) - (-1)*(-2-1) + (-1)*(1+2) = 2*3 - (-1)*(-3) + (-1)*3 = 6 - 3 - 3 = 0$，所以0是特征值，而1,1,4的行列式为 $1*1*4=4 \neq 0$，矛盾。因此正确答案应为0,3,3。但题目答案给出规范型为 $y_1^2+y_2^2+y_3^2$，即正惯性指数3，负惯性指数0，特征值全正，但0不是正数，所以矛盾。重新审视：二次型矩阵应为 $\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$，计算特征值：$|\lambda E - A| = (\lambda-2)^3 - 3(\lambda-2) - 2$？实际上，对于这种形式的矩阵，特征值有一个公式：矩阵 $J = \begin{pmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{pmatrix}$ 的特征值为 $a-b$（二重）和 $a+2b$。这里 $a=2, b=-1$，所以特征值为 $2-(-1)=3$（二重）和 $2+2*(-1)=0$。所以特征值为3,3,0。因此正惯性指数为2，负惯性指数为0，规范型应为 $y_1^2+y_2^2$。但题目答案给出 $y_1^2+y_2^2+y_3^2$，显然错误。根据标准答案，应纠正为 $y_1^2+y_2^2$。但题目要求输出步骤，我们按正确计算进行。

由特征多项式 $|\lambda E - A| = \lambda (\lambda-3)^2 = 0$，解得特征值 $\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = \lambda_3 = 3$。

正特征值个数为正惯性指数 $p$，负特征值个数为负惯性指数 $q$。这里特征值 $3>0$（二重），$0$ 不是正也不是负，所以 $p=2$，$q=0$。

规范型为 $y_1^2 + y_2^2$，即 $p$ 个正平方项，$q$ 个负平方项。