中国科学院大学 2026年高等代数第0题

设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 13 & 16 & 16 \\ -5 & -7 & -6 \\ -6 & -8 & -7 \end{pmatrix}$，计算特征多项式 $\det(\lambda I - A)$： $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda-13 & -16 & -16 \\ 5 & \lambda+7 & 6 \\ 6 & 8 & \lambda+7 \end{pmatrix}$ 按第一行展开： $(\lambda-13)[(\lambda+7)^2 - 48] - (-16)[5(\lambda+7) - 36] + (-16)[40 - 6(\lambda+7)]$ $= (\lambda-13)(\lambda^2+14\lambda+1) + 16(5\lambda-1) - 16(-6\lambda-2)$ $= (\lambda-13)(\lambda^2+14\lambda+1) + 80\lambda - 16 + 96\lambda + 32$ $= (\lambda-13)(\lambda^2+14\lambda+1) + 176\lambda + 16$ $= \lambda^3+14\lambda^2+\lambda -13\lambda^2-182\lambda-13 + 176\lambda+16$ $= \lambda^3 + \lambda^2 -5\lambda + 3$

特征多项式为 $\lambda^3 + \lambda^2 -5\lambda + 3$。尝试因式分解： 代入 $\lambda=1$：$1+1-5+3=0$，所以 $(\lambda-1)$ 是一个因子。 多项式除以 $(\lambda-1)$ 得 $\lambda^2+2\lambda-3 = (\lambda-1)(\lambda+3)$。 因此特征多项式为 $(\lambda-1)^2(\lambda+3)$。

由特征多项式 $(\lambda-1)^2(\lambda+3)$ 得特征值： $\lambda_1 = 1$，代数重数为2； $\lambda_2 = -3$，代数重数为1。

对于 $\lambda=1$，计算 $A - I$ 的秩： $A - I = \begin{pmatrix} 12 & 16 & 16 \\ -5 & -8 & -6 \\ -6 & -8 & -8 \end{pmatrix}$ 行化简： $\begin{pmatrix} 12 & 16 & 16 \\ -5 & -8 & -6 \\ -6 & -8 & -8 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1/4} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 \\ -5 & -8 & -6 \\ -6 & -8 & -8 \end{pmatrix}$ $\xrightarrow{R_2+\frac{5}{3}R_1} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 \\ 0 & -\frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\ -6 & -8 & -8 \end{pmatrix}$ $\xrightarrow{R_3+2R_1} \begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 \\ 0 & -\frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 秩为2，所以几何重数 $= 3 - 2 = 1$。

对于特征值1：代数重数为2，几何重数为1，所以有一个2阶若尔当块。 对于特征值-3：代数重数为1，几何重数必为1，所以有一个1阶若尔当块。 因此若尔当标准型为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$。