中国科学院大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
10．在欧氏空间中，向量 $d_{1}=(1,1,1,-1), d_{2}=(2,0,-2,0)$ 张成的子空间为 $V$ ，求向量 $\beta=(1,-1,1,0)$在 $V$ 上的投影向量 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断向量组线性无关
给定向量 $d_1=(1,1,1,-1)$ 和 $d_2=(2,0,-2,0)$，由于它们不成比例，因此线性无关，张成子空间 $V$。
提示：注意检查向量是否线性相关，若相关则需先找出极大无关组。
步骤 2/6
目标：Gram-Schmidt正交化第一步
令 $\alpha_1 = d_1 = (1,1,1,-1)$，计算其模长：$\|\alpha_1\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2+(-1)^2} = 2$，得到单位向量 $e_1 = \frac{\alpha_1}{\|\alpha_1\|} = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$。
公式：$e_i = \frac{\alpha_i}{\|\alpha_i\|}$
提示：计算模长时注意平方和开方，不要遗漏负号。
步骤 3/6
目标：Gram-Schmidt正交化第二步
计算 $d_2$ 在 $e_1$ 上的投影系数：$\langle d_2, e_1\rangle = 2\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot\frac{1}{2} + (-2)\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot(-\frac{1}{2}) = 1+0-1+0=0$。因此 $\alpha_2 = d_2 - \langle d_2, e_1\rangle e_1 = d_2 = (2,0,-2,0)$。计算模长：$\|\alpha_2\| = \sqrt{2^2+0^2+(-2)^2+0^2}=2\sqrt{2}$，得到 $e_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$。
公式：$\alpha_i = d_i - \sum_{j=1}^{i-1} \langle d_i, e_j\rangle e_j$
提示：投影系数可能为零，此时 $\alpha_i$ 即为原向量。
步骤 4/6
目标：得到标准正交基
子空间 $V$ 的一组标准正交基为 $e_1 = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 和 $e_2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$。
提示：验证正交性：$\langle e_1, e_2\rangle = 0$，且模长均为1。
步骤 5/6
目标：计算投影向量
向量 $\beta=(1,-1,1,0)$ 在 $V$ 上的投影为 $\operatorname{proj}_V \beta = \langle \beta, e_1\rangle e_1 + \langle \beta, e_2\rangle e_2$。计算内积：$\langle \beta, e_1\rangle = 1\cdot\frac{1}{2} + (-1)\cdot\frac{1}{2} + 1\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$；$\langle \beta, e_2\rangle = 1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + (-1)\cdot0 + 1\cdot(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + 0\cdot0 = 0$。因此投影向量为 $\frac{1}{2} e_1 = \left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},-\frac{1}{4}\right)$。
公式：$\operatorname{proj}_V \beta = \sum_{i=1}^k \langle \beta, e_i\rangle e_i$
提示：内积计算要仔细，注意符号。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
所以 $\beta$ 在 $V$ 上的投影向量为 $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},-\frac{1}{4}\right)$。
提示：答案应写成分数形式，不要化简为小数。
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