中国科学院大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．在三次多项式空间 $P[x]_{3}$ 中，求多项式 $1+x+x^{2}+x^{3}$ 在基 $\left\{2,1+x,-x+2 x^{2}, x+x^{3}\right\}$ 下的坐标 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定基和待求坐标
设基向量为 $\alpha_1=2$, $\alpha_2=1+x$, $\alpha_3=-x+2x^2$, $\alpha_4=x+x^3$，所求坐标为 $(a,b,c,d)$，即多项式 $1+x+x^2+x^3$ 可表示为基的线性组合：
$$1+x+x^2+x^3 = a\cdot2 + b(1+x) + c(-x+2x^2) + d(x+x^3).$$
提示：注意基向量是多项式，坐标是系数，不要混淆顺序。
步骤 2/5
目标：展开右端并合并同类项
将右端展开：
$$2a + b + bx - cx + 2c x^2 + d x + d x^3.$$
合并同类项：
常数项：$2a+b$；
一次项：$(b-c+d)x$；
二次项：$2c x^2$；
三次项：$d x^3$。
因此右端为：
$$(2a+b) + (b-c+d)x + 2c x^2 + d x^3.$$
提示：合并时注意各项系数符号，特别是 $c(-x+2x^2)$ 中 $-x$ 的系数。
步骤 3/5
目标：比较系数建立方程组
左端多项式为 $1 + x + x^2 + x^3$，比较两端对应次数的系数，得到方程组：
\begin{cases}
2a + b = 1, \\
b - c + d = 1, \\
2c = 1, \\
d = 1.
\end{cases}
提示：注意常数项对应 $x^0$ 系数，一次项对应 $x^1$ 系数，等等。
步骤 4/5
目标：求解方程组
由 $2c=1$ 得 $c=\frac{1}{2}$；由 $d=1$ 得 $d=1$。
代入第二式：$b - \frac{1}{2} + 1 = 1$，解得 $b = \frac{1}{2}$。
代入第一式：$2a + \frac{1}{2} = 1$，解得 $a = \frac{1}{4}$。
提示：代入时注意符号，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：写出坐标
因此，多项式 $1+x+x^2+x^3$ 在给定基下的坐标为 $(a,b,c,d) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$。
提示：坐标顺序必须与基向量的顺序一致。
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