中国科学院大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．已知 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3\end{array}\right)$ ，求原矩阵 $A=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用伴随矩阵性质建立方程
设 $A$ 为 $3\times 3$ 矩阵，由公式 $AA^* = A^*A = |A|E$，可得 $|A|$ 满足 $|A^*| = |A|^{n-1}$，其中 $n=3$，故 $|A^*| = |A|^2$。
公式：$AA^* = |A|E$，$|A^*| = |A|^{n-1}$
提示：注意 $n$ 是矩阵的阶数，此处 $n=3$。
步骤 2/6
目标：计算 $|A^*|$
计算 $|A^*| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot(2\cdot3-1\cdot3) -1\cdot(1\cdot3-1\cdot1) +1\cdot(1\cdot3-2\cdot1) = 1\cdot3 -1\cdot2 +1\cdot1 = 2$。
提示：行列式计算时注意符号和代数余子式的正确使用。
步骤 3/6
目标：求出 $|A|$
由 $|A^*| = |A|^2$ 得 $|A|^2 = 2$，所以 $|A| = \pm\sqrt{2}$。
提示：注意 $|A|$ 有两个可能值，不要遗漏负号。
步骤 4/6
目标：利用 $A^* = |A|A^{-1}$ 表达 $A$
由 $A^* = |A| A^{-1}$ 得 $A = |A| (A^*)^{-1}$。
公式：$A^* = |A|A^{-1}$
提示：注意逆矩阵公式中 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$，变形时小心符号。
步骤 5/6
目标：求 $(A^*)^{-1}$
先求 $A^*$ 的伴随矩阵。计算各元素的代数余子式：
$A_{11}=3$，$A_{12}=-2$，$A_{13}=1$；
$A_{21}=0$，$A_{22}=2$，$A_{23}=-2$；
$A_{31}=-1$，$A_{32}=0$，$A_{33}=1$。
所以 $A^*$ 的伴随矩阵为 $\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$。
故 $(A^*)^{-1} = \frac{1}{|A^*|} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$
提示：代数余子式注意符号 $(-1)^{i+j}$，且伴随矩阵是转置后的余子式矩阵。
步骤 6/6
目标：代入 $|A|$ 得到 $A$
将 $|A| = \pm\sqrt{2}$ 和 $(A^*)^{-1}$ 代入 $A = |A| (A^*)^{-1}$，得
$A = \pm\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意 $|A|$ 有两个值，所以 $A$ 有两个可能的结果。
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