中国科学院大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-z=2, \\ 3 x-y+z=3 .\end{array}\right.$ 求该直线绕 $y$ 轴旋转所得旋转曲面的方程 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将直线方程化为参数式
给定方程组：
\[
\begin{cases}
2x + y - z = 2, \\
3x - y + z = 3.
\end{cases}
\]
两式相加得：
\[
(2x+3x)+(y-y)+(-z+z)=2+3 \Rightarrow 5x=5 \Rightarrow x=1.
\]
代入第一个方程：
\[
2(1)+y-z=2 \Rightarrow 2+y-z=2 \Rightarrow y=z.
\]
令 $y=t$，则 $z=t$，所以直线的参数方程为：
\[
\begin{cases}
x=1, \\
y=t, \\
z=t,
\end{cases}
\quad t\in\mathbb{R}.
\]
提示：注意解方程组时，两式相加消去y和z，得到x的值；代入后得到y=z，参数化时选择y为参数t。
步骤 2/5
目标：理解旋转曲面的形成条件
直线绕y轴旋转，旋转曲面上任意一点 $(x,y,z)$ 是由直线上的点 $(1,t,t)$ 绕y轴旋转得到的。旋转过程中，该点到y轴的距离保持不变，且纵坐标y等于参数t。
提示：旋转轴是y轴，所以y坐标不变，而x和z坐标变化，但到y轴的距离不变。
步骤 3/5
目标：建立旋转曲面上点的坐标关系
对于直线上的点 $(1,t,t)$，其到y轴的距离为 $\sqrt{1^2+t^2}$。旋转后得到的点 $(x,y,z)$ 到y轴的距离为 $\sqrt{x^2+z^2}$。由于距离相等，有：
\[
\sqrt{x^2+z^2} = \sqrt{1^2+t^2}.
\]
同时，旋转过程中纵坐标不变，即 $y=t$。
公式：点到y轴的距离公式：$\sqrt{x^2+z^2}$
提示：注意距离公式的正确使用，不要遗漏平方根。
步骤 4/5
目标：消去参数t得到曲面方程
将 $y=t$ 代入距离等式：
\[
\sqrt{x^2+z^2} = \sqrt{1^2+y^2}.
\]
两边平方得：
\[
x^2+z^2 = 1+y^2.
\]
整理得：
\[
x^2 - y^2 + z^2 = 1.
\]
提示：平方时注意两边非负，直接平方即可；移项时注意符号。
步骤 5/5
目标：写出最终旋转曲面方程
因此，所求旋转曲面方程为：
\[
x^2 - y^2 + z^2 = 1.
\]
提示：最终方程应化简为最简形式。
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