中国科学院大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $M=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ ，线性变换 $\mathscr{A}$ 满足 $\mathscr{A} x=M x$ ，求 $\mathscr{A}$ 的特征值及重数 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解线性变换与矩阵的关系
线性变换 $\mathscr{A}$ 定义为 $\mathscr{A}(x)=Mx$，其中 $M=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$。因此 $\mathscr{A}$ 的特征值就是矩阵 $M$ 的特征值。
公式：\mathscr{A}(x)=Mx
提示：注意线性变换的特征值与表示矩阵的特征值相同，但前提是基取标准基。
步骤 2/6
目标：写出特征多项式
特征多项式为 $\det(\lambda I - M)$，其中 $I$ 是二阶单位矩阵。计算：
$$\lambda I - M = \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda-1 & 0 \\ -1 & \lambda+1\end{pmatrix}.$$
公式：\det(\lambda I - M)
提示：注意矩阵减法的顺序：$\lambda I - M$，不要写成 $M-\lambda I$，否则特征多项式符号可能不同，但根相同。
步骤 3/6
目标：计算行列式
计算 $\det\begin{pmatrix}\lambda-1 & 0 \\ -1 & \lambda+1\end{pmatrix}$。由于是上三角矩阵（左下角元素非零，但上三角矩阵定义为主对角线以下全零，此处左下角为-1，不是上三角，但计算行列式仍可用公式：$\det = (\lambda-1)(\lambda+1) - 0\cdot(-1) = (\lambda-1)(\lambda+1)$。
公式：\det\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc
提示：对于2x2矩阵，行列式公式为 $ad-bc$，注意符号。
步骤 4/6
目标：求解特征方程
特征多项式为 $(\lambda-1)(\lambda+1)=0$，解得 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=-1$。
提示：特征方程等于0，不要忘记等于0。
步骤 5/6
目标：确定特征值的重数
每个特征值在特征多项式中都是一次因式，因此代数重数均为1。
提示：代数重数是指特征值作为特征多项式根的重数，几何重数可能不同，但题目问的是重数，通常指代数重数。
步骤 6/6
目标：总结答案
线性变换 $\mathscr{A}$ 的特征值为 $1$（重数1）和 $-1$（重数1）。
提示：答案需明确写出特征值及其重数。
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