中国科学院大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2026 & 2 & -2 \\ 2 & 2029 & -4 \\ -2 & -4 & 2029\end{array}\right)$ ，记 $M=\left\{B \in M_{3}(\mathbb{R}) \mid A B=B A\right\}$（即所有与 $A$ 可交换的 3 阶实矩阵构成的集合），求 $\operatorname{dim} M=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将矩阵A分解为标量矩阵与秩1矩阵之和
令 $A = 2025I + B$，其中 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \\ -2 & -4 & 4 \end{pmatrix}$。注意 $B$ 的秩为1，因为第二行是第一行的2倍，第三行是第一行的-2倍。实际上 $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$。
公式：A = 2025I + B
提示：注意B的秩为1，且可以写成列向量乘行向量的形式。
步骤 2/7
目标：求矩阵B的特征值
由于 $B$ 是秩1矩阵，其非零特征值等于迹：$\operatorname{tr}(B)=1+4+4=9$，另外两个特征值为0。因此 $B$ 的特征值为 $9,0,0$。
公式：特征值：9（单重），0（二重）
提示：秩1矩阵的非零特征值等于迹。
步骤 3/7
目标：求矩阵A的特征值
因为 $A = 2025I + B$，所以 $A$ 的特征值为 $2025$ 加上 $B$ 的特征值，即 $2025+9=2034$（单重）和 $2025+0=2025$（二重）。
公式：特征值：2034（单重），2025（二重）
提示：标量矩阵平移不改变特征向量，特征值加常数。
步骤 4/7
目标：求特征值2034的特征向量
解 $(A-2034I)x=0$，即 $Bx=9x$，或 $(B-9I)x=0$。由于 $B$ 的秩为1，$B-9I$ 的秩为2，零空间维数为1。解得特征向量为 $(1,2,-2)^T$ 的倍数。
公式：特征向量：$k(1,2,-2)^T$
提示：注意解齐次线性方程组时，系数矩阵的秩。
步骤 5/7
目标：求特征值2025的特征向量
解 $(A-2025I)x=0$，即 $Bx=0$。$B$ 的零空间维数为2，解 $x_1+2x_2-2x_3=0$，得到两个线性无关的特征向量，例如 $(2,-1,0)^T$ 和 $(2,0,1)^T$。
公式：特征向量：$k_1(2,-1,0)^T + k_2(2,0,1)^T$
提示：注意选择线性无关的解，避免零向量。
步骤 6/7
目标：判断A是否可对角化
特征值2034的代数重数为1，几何重数为1；特征值2025的代数重数为2，几何重数为2。因此每个特征值的几何重数等于代数重数，故 $A$ 可对角化，且相似于 $\operatorname{diag}(2034,2025,2025)$。
公式：可对角化条件：几何重数=代数重数
提示：注意检查每个特征值的几何重数。
步骤 7/7
目标：计算与A可交换的矩阵空间的维数
对于可对角化矩阵，与 $A$ 可交换的矩阵空间维数等于 $\sum_{i} n_i^2$，其中 $n_i$ 是每个不同特征值的代数重数。这里特征值2034的重数为1，特征值2025的重数为2，所以维数为 $1^2+2^2=5$。
公式：维数 = $1^2+2^2=5$
提示：注意公式：可对角化时，与A可交换的矩阵空间维数等于各特征值重数平方和。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。