中国科学院大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $A$ 为元素全为整数的对称方阵，且对任意非零行向量 $z$（其分量均为非负整数），总有 $z A z^{\mathrm{T}} \geq 0$ ．
（1）证明：对任意非零行向量 $z$（其分量均为非负实数），总有 $z A z^{\mathrm{T}} \geq 0$ ．
（2）判断：是否存在非零行向量 $z$（其分量均为非负整数），使得 $z A z^{\mathrm{T}}=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题意与已知条件
设 $A$ 为 $n \times n$ 对称整数矩阵，且对任意非零行向量 $z \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^n$（分量非负整数），有 $z A z^\mathrm{T} \geq 0$。要证明对任意非零 $z \in \mathbb{R}_{\geq 0}^n$（分量非负实数），也有 $z A z^\mathrm{T} \geq 0$。
提示：注意整数条件与实数条件的区别，需要利用稠密性过渡。
步骤 2/8
目标：构造有理数序列逼近实数向量
取任意非零 $z = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}_{\geq 0}^n$。由于有理数在实数中稠密，存在有理数序列 $\{z^{(k)}\}_{k=1}^\infty$，其中每个 $z^{(k)} \in \mathbb{Q}_{\geq 0}^n$，且 $z^{(k)} \to z$。
提示：有理数序列的存在性由有理数的稠密性保证。
步骤 3/8
目标：将有理向量化为整数向量
对每个 $k$，存在正整数 $m_k$ 使得 $m_k z^{(k)} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^n$（取所有分母的最小公倍数）。由已知条件，$(m_k z^{(k)}) A (m_k z^{(k)})^\mathrm{T} \geq 0$，即 $m_k^2 z^{(k)} A (z^{(k)})^\mathrm{T} \geq 0$，故 $z^{(k)} A (z^{(k)})^\mathrm{T} \geq 0$。
公式：$(m_k z^{(k)}) A (m_k z^{(k)})^\mathrm{T} = m_k^2 z^{(k)} A (z^{(k)})^\mathrm{T}$
提示：注意 $m_k$ 为正整数，不等式方向不变。
步骤 4/8
目标：取极限得到实数情形
令 $k \to \infty$，由 $z^{(k)} \to z$ 以及二次型 $f(z)=z A z^\mathrm{T}$ 的连续性，得 $z A z^\mathrm{T} = \lim_{k\to\infty} z^{(k)} A (z^{(k)})^\mathrm{T} \geq 0$。
公式：$\lim_{k\to\infty} z^{(k)} A (z^{(k)})^\mathrm{T} = z A z^\mathrm{T}$
提示：连续性依赖于矩阵 $A$ 固定，二次型是多项式函数。
步骤 5/8
目标：问题（1）结论
因此，对任意非零 $z \in \mathbb{R}_{\geq 0}^n$，有 $z A z^\mathrm{T} \geq 0$。
步骤 6/8
目标：问题（2）分析：是否存在非零非负整数向量使二次型为零
问题（2）问：是否存在非零行向量 $z$（分量均为非负整数）使得 $z A z^\mathrm{T}=0$？答案是不一定，取决于 $A$ 的具体形式。
提示：注意条件只保证半正定性，但不保证零空间有非零非负整数向量。
步骤 7/8
目标：举例说明存在与不存在的情况
存在的情况：例如 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$，则对 $z=(1,1)$，有 $z A z^\mathrm{T}=0$。
不存在的情况：例如 $A = I$（单位矩阵），则对任意非零非负整数向量 $z$，$z A z^\mathrm{T} = \sum x_i^2 > 0$。
提示：注意 $A$ 必须满足题目条件：对称整数矩阵且对非负整数向量半正定。
步骤 8/8
目标：问题（2）结论
因此，不一定存在这样的非零非负整数向量 $z$ 使得 $z A z^\mathrm{T}=0$。
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