中国科学院大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1+a & 1 & \cdots & 1 \\
2 & 2+a & \cdots & 2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
n & n & \cdots & n+a
\end{array}\right) .
$$
求 $\operatorname{det} A$ ，判断 $a$ 为何值时，$A X=0$ 有非零解，并求该非零解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将矩阵分解为秩1矩阵与对角矩阵之和
设矩阵 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其元素为 $a_{ij}=i$（当 $j\neq i$）且 $a_{ii}=i+a$。将 $A$ 写为 $A = B + aI$，其中 $B$ 的第 $i$ 行全为 $i$，即 $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & \cdots & n \end{pmatrix}$。
提示：注意 $B$ 的每一行相同，因此秩为1。
步骤 2/7
目标：计算矩阵B的特征值
由于 $B$ 的秩为1，其特征值为 $\lambda_1 = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$（对应特征向量 $(1,2,\ldots,n)^T$），其余 $n-1$ 个特征值为0。
公式：特征值公式：$\lambda_1 = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$
提示：秩1矩阵的非零特征值等于迹，即所有对角元之和。
步骤 3/7
目标：推导矩阵A的特征值
因为 $A = B + aI$，所以 $A$ 的特征值为 $B$ 的特征值加上 $a$，即 $\lambda_1 + a = \frac{n(n+1)}{2} + a$ 和 $a$（$n-1$ 重）。
提示：注意 $aI$ 只改变特征值，不改变特征向量。
步骤 4/7
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，因此 $\det A = \left(\frac{n(n+1)}{2} + a\right) a^{n-1}$。
公式：$\det A = \left(\frac{n(n+1)}{2} + a\right) a^{n-1}$
提示：特征值乘积时注意重数。
步骤 5/7
目标：判断非零解条件
齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解当且仅当 $\det A = 0$，即 $a=0$ 或 $a = -\frac{n(n+1)}{2}$。
提示：行列式为零是齐次方程组有非零解的充要条件。
步骤 6/7
目标：求a=0时的非零解
当 $a=0$ 时，$A = B$，秩为1，方程组等价于 $x_1+2x_2+\cdots+nx_n=0$。基础解系含 $n-1$ 个向量，例如：$\xi_1 = (2, -1, 0, \ldots, 0)^T$，$\xi_2 = (3, 0, -1, \ldots, 0)^T$，$\ldots$，$\xi_{n-1} = (n, 0, \ldots, -1)^T$。通解为 $X = c_1\xi_1 + \cdots + c_{n-1}\xi_{n-1}$，$c_i$ 不全为零。
提示：注意基础解系中每个向量满足方程，且线性无关。
步骤 7/7
目标：求a=-n(n+1)/2时的非零解
当 $a = -\frac{n(n+1)}{2}$ 时，考虑向量 $v = (1, 2, \ldots, n)^T$，计算 $A v$ 的第 $i$ 个分量：$\sum_{j=1}^n a_{ij} j = i\sum_{j=1}^n j + a i = i\left(\frac{n(n+1)}{2}+a\right) = 0$，因此 $A v = 0$，即 $v$ 是一个非零解。通解为 $X = k(1, 2, \ldots, n)^T$，$k \neq 0$。
提示：直接验证向量是否满足方程组，避免复杂推导。
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