中山大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
九．（15 分）对非负整数 $n$ ，已知 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$ 关于矩阵加法与数乘构成一个实线性空间，设 $V$ 是 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$的一个非零子空间，满足 $V$ 中任意非零矩阵都可逆．求证： $\displaystyle \operatorname{dim} V=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和目标
已知 $M_{2n+1}(\mathbb{R})$ 是实线性空间，$V$ 是其非零子空间，且 $V$ 中任意非零矩阵都可逆。需要证明 $\dim V = 1$。
提示：注意矩阵阶数为奇数 $2n+1$，这是关键条件。
步骤 2/7
目标：反证法假设
假设 $\dim V \geq 2$，则存在两个线性无关的矩阵 $A, B \in V$。
提示：线性无关意味着 $A$ 和 $B$ 不成比例。
步骤 3/7
目标：构造矩阵族并利用可逆性
考虑矩阵 $A + tB$，其中 $t \in \mathbb{R}$。由于 $A, B$ 线性无关，$A + tB$ 不是零矩阵。由条件，$A + tB$ 可逆，即 $\det(A + tB) \neq 0$ 对所有 $t \in \mathbb{R}$ 成立。
公式：$\det(A + tB) \neq 0, \forall t \in \mathbb{R}$
提示：注意 $t$ 取遍所有实数，包括 $t=0$ 时 $A$ 可逆。
步骤 4/7
目标：分析行列式的多项式性质
$\det(A + tB)$ 是关于 $t$ 的多项式，次数不超过 $2n+1$（因为矩阵阶数为 $2n+1$）。若该多项式恒不为零，则它至多有 $2n+1$ 个实根。
公式：$\deg(\det(A + tB)) \leq 2n+1$
提示：多项式次数不超过矩阵阶数，但可能更低。
步骤 5/7
目标：导出矛盾
但 $\det(A + tB) \neq 0$ 对所有 $t \in \mathbb{R}$ 成立，意味着该多项式没有实根。然而，一个非零多项式在实数域上至多有有限个根，而实数集是无限的，这并不矛盾。实际上，我们需要更精细的推理：由于 $\det(A + tB)$ 是 $t$ 的多项式且恒不为零，它只能有有限个根。但条件要求对所有实数 $t$ 都非零，这本身是可能的（例如常数多项式）。但这里的关键是：多项式次数为奇数，当 $t \to \pm\infty$ 时，$\det(A + tB)$ 的符号由最高次项决定，且由于次数为奇数，符号会改变，从而由介值定理必存在实根。
提示：注意奇数阶行列式多项式在无穷远处符号相反，因此必有实根。
步骤 6/7
目标：利用奇数阶性质得到矛盾
由于 $\det(A + tB)$ 是 $t$ 的奇数次多项式（次数不超过 $2n+1$ 且为奇数），当 $t \to +\infty$ 和 $t \to -\infty$ 时，$\det(A + tB)$ 的符号相反。由连续函数的介值定理，存在某个实数 $t_0$ 使得 $\det(A + t_0 B) = 0$，这与 $A + t_0 B$ 可逆矛盾。因此假设不成立，$\dim V$ 不能大于 1。
提示：介值定理要求多项式连续，且符号相反则必有零点。
步骤 7/7
目标：得出维度为1
又因为 $V$ 非零，所以 $\dim V \geq 1$。结合 $\dim V \leq 1$，得 $\dim V = 1$。
提示：注意非零子空间至少一维。
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