📝 中山大学 2026年高等代数真题

一．（15分）下面行列式

$$
d(x)=\left|\begin{array}{cccc}
2 x & x & 1 & 2 \\
1 & x & 1 & -1 \\
3 & 2 & x & 1 \\
1 & 1 & 1 & x
\end{array}\right|
$$

中 $\displaystyle x^{k}$ 的系数记为 $\displaystyle a_{k}$ ，求 $\displaystyle a_{2}$ 及 $\displaystyle a_{3}$ ．

七．（15 分）设 $\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{R})$ 为可逆矩阵，满足 $\displaystyle A B A=B$ 且 $\displaystyle B A B=A$ ，证明：$\displaystyle A^{4}=B^{4}=I$ ．

三．（15 分）实矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -4 \\
-2 & x & -2 \\
-4 & -2 & 1
\end{array}\right)
$$

与对角阵 $\displaystyle \Lambda=\operatorname{diag}\{5,-4, y\}$ 相似，求 $\displaystyle x, y$ 的值．
$\displaystyle \begin{aligned} & \text { 四．（15 分）设 } A= \\ & \text { A33元素为0 }\end{aligned}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $P$ 及对角矩阵 $D$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P=D$ ．

九．（15 分）对非负整数 $n$ ，已知 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$ 关于矩阵加法与数乘构成一个实线性空间，设 $V$ 是 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$的一个非零子空间，满足 $V$ 中任意非零矩阵都可逆．求证： $\displaystyle \operatorname{dim} V=1$ ．

二．（15 分）已知实数域上关于 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 的线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+a x_{2}+x_{3}=4 \\
b x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\
2 b x_{1}+x_{2}+x_{3}=4
\end{array}\right.
$$

有解，求 $\displaystyle a, b$ 的值，并求出方程组的解．

五．（15 分）设

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
4 & -15 & 6 \\
1 & -4 & 2 \\
1 & -5 & 3
\end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{C}) .
$$

求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 及 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle g(\lambda)$ ．

八．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是正定对称矩阵，其对角元 $\displaystyle a_{i i}$ 及特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 满足

$$
a_{11} \leq a_{22} \leq \cdots \leq a_{n n}, \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n} .
$$

问 $\displaystyle \lambda_{i} \leq a_{i i}$ 是否对所有 $\displaystyle 1 \leq i \leq n$ 成立？若成立，给出证明；若不成立，举出反例．

六．（15 分）设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，任意给定非零列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}$ ，求证：存在次数小 $n$ 的多项式 $\displaystyle h(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，使得 $\displaystyle h(A) \alpha$ 为 $A$ 的特征向量．

十．（15分）记 $\displaystyle E_{i j}$ 是 $\displaystyle (i, j)$ 元素是 1 其余元素是 0 的 $n$ 阶实矩阵．设 $\displaystyle \varphi$ 是实列向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换，定义映射

$$
\begin{aligned}
f_{\varphi}: & \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \\
\alpha & \mapsto \sum_{i, j=1}^{n} E_{i j} \varphi\left(E_{j i} \alpha\right) .
\end{aligned}
$$

求证：存在常数 $\displaystyle c_{\varphi}$ ，满足 $\displaystyle f_{\varphi}=c_{\varphi} \mathrm{Id}, \mathrm{Id}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的恒等变换．