中山大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是正定对称矩阵，其对角元 $\displaystyle a_{i i}$ 及特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 满足
$$
a_{11} \leq a_{22} \leq \cdots \leq a_{n n}, \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n} .
$$
问 $\displaystyle \lambda_{i} \leq a_{i i}$ 是否对所有 $\displaystyle 1 \leq i \leq n$ 成立？若成立，给出证明；若不成立，举出反例．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题
题目给出一个正定对称矩阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}\in M_n(\mathbb{R})$，对角元 $a_{ii}$ 和特征值 $\lambda_i$ 都按递增顺序排列：$a_{11}\leq a_{22}\leq\cdots\leq a_{nn}$，$\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$。问是否对所有 $i$ 都有 $\lambda_i\leq a_{ii}$。
提示：注意条件中 $a_{ii}$ 和 $\lambda_i$ 都是排序后的，但 $a_{ii}$ 不一定等于 $\lambda_i$。
步骤 2/5
目标：猜测结论
直觉上，对角元与特征值之间没有直接的大小关系，但正定性可能带来一些约束。例如，对于 $2\times 2$ 矩阵，由特征多项式可得 $\lambda_1+\lambda_2 = a_{11}+a_{22}$，$\lambda_1\lambda_2 = \det A$。但 $\lambda_i\leq a_{ii}$ 不一定成立。
提示：尝试构造反例，通常 $2\times 2$ 矩阵足够。
步骤 3/5
目标：构造反例
考虑 $2\times 2$ 矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$。计算其特征值：特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-2)^2 - 1 = \lambda^2 -4\lambda +3 = (\lambda-1)(\lambda-3)$，所以特征值为 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=3$。对角元 $a_{11}=2$，$a_{22}=2$，排序后 $a_{11}\leq a_{22}$，$\lambda_1\leq\lambda_2$。
公式：$\det(\lambda I - A) = 0$
提示：注意特征值排序后 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=3$。
步骤 4/5
目标：验证不等式
检查 $\lambda_i \leq a_{ii}$：对于 $i=1$，$\lambda_1=1 \leq a_{11}=2$ 成立；对于 $i=2$，$\lambda_2=3 \leq a_{22}=2$ 不成立。因此命题不成立。
提示：注意 $a_{22}$ 是第二个对角元，不是第二个特征值。
步骤 5/5
目标：结论
反例表明 $\lambda_i \leq a_{ii}$ 不一定对所有 $i$ 成立。实际上，对于正定对称矩阵，有更一般的性质如 $\lambda_1 \leq \min_i a_{ii}$ 和 $\lambda_n \geq \max_i a_{ii}$，但中间的特征值与对角元没有简单的大小关系。
提示：注意区分排序后的对角元和特征值。
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