中山大学 2026年高等代数第0题

考虑向量序列 $\alpha, A\alpha, A^2\alpha, \dots, A^{n-1}\alpha$。由于 $\mathbb{C}^n$ 是 $n$ 维空间，这 $n$ 个向量线性相关，因此存在不全为零的系数 $c_0, c_1, \dots, c_{n-1} \in \mathbb{C}$ 使得 $c_0\alpha + c_1 A\alpha + \cdots + c_{n-1}A^{n-1}\alpha = 0$。令 $g(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{n-1}x^{n-1}$，则 $g(A)\alpha = 0$。

设 $A$ 的特征多项式为 $f(x)=\det(xI-A)=x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$。由 Cayley-Hamilton 定理，$f(A)=0$，从而 $A^n\alpha = -a_{n-1}A^{n-1}\alpha -\cdots - a_0\alpha$。因此向量组 $\alpha, A\alpha, \dots, A^{n-1}\alpha$ 张成一个 $A$-不变子空间 $W$，即 $A(W) \subseteq W$。

设 $W$ 的维数为 $k$（$1 \leq k \leq n$）。则存在最小的 $k$ 使得 $\alpha, A\alpha, \dots, A^{k-1}\alpha$ 线性无关，而 $A^k\alpha$ 可由它们线性表示：$A^k\alpha = b_0\alpha + b_1 A\alpha + \cdots + b_{k-1}A^{k-1}\alpha$。于是 $\alpha, A\alpha, \dots, A^{k-1}\alpha$ 构成 $W$ 的一组基。

在基 $\alpha, A\alpha, \dots, A^{k-1}\alpha$ 下，$A$ 的作用为：$A(\alpha)=A\alpha$，$A(A\alpha)=A^2\alpha$，…，$A(A^{k-2}\alpha)=A^{k-1}\alpha$，$A(A^{k-1}\alpha)=A^k\alpha = b_0\alpha + b_1 A\alpha + \cdots + b_{k-1}A^{k-1}\alpha$。因此 $A$ 在该基下的矩阵为友矩阵 $C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & b_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & b_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{k-1} \end{pmatrix}$。

友矩阵 $C$ 的特征多项式为 $p(x)=x^k - b_{k-1}x^{k-1} - \cdots - b_0$。由于 $\mathbb{C}$ 是代数闭域，$p(x)$ 在 $\mathbb{C}$ 中有根 $\lambda$，即 $\lambda^k = b_{k-1}\lambda^{k-1}+\cdots+b_0$。对应的特征向量在基下的坐标为 $(\lambda^{k-1}, \lambda^{k-2}, \dots, 1)^T$，即 $\beta = \lambda^{k-1}\alpha + \lambda^{k-2}A\alpha + \cdots + A^{k-1}\alpha$。

令 $h(x) = x^{k-1} + \lambda x^{k-2} + \cdots + \lambda^{k-1}$，则 $\beta = h(A)\alpha$。由于 $k \leq n$，$h(x)$ 的次数为 $k-1 < n$。因此存在次数小于 $n$ 的多项式 $h(x)$ 使得 $h(A)\alpha$ 是 $A$ 的特征向量。