中山大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
十．（15分）记 $\displaystyle E_{i j}$ 是 $\displaystyle (i, j)$ 元素是 1 其余元素是 0 的 $n$ 阶实矩阵．设 $\displaystyle \varphi$ 是实列向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换，定义映射
$$
\begin{aligned}
f_{\varphi}: & \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \\
\alpha & \mapsto \sum_{i, j=1}^{n} E_{i j} \varphi\left(E_{j i} \alpha\right) .
\end{aligned}
$$
求证：存在常数 $\displaystyle c_{\varphi}$ ，满足 $\displaystyle f_{\varphi}=c_{\varphi} \mathrm{Id}, \mathrm{Id}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的恒等变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解映射定义
给定线性变换 $\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$，定义映射 $f_\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 为 $f_\varphi(\alpha) = \sum_{i,j=1}^n E_{ij} \varphi(E_{ji}\alpha)$，其中 $E_{ij}$ 是第 $(i,j)$ 元素为1其余为0的 $n$ 阶实矩阵。
公式：$f_\varphi(\alpha) = \sum_{i,j=1}^n E_{ij} \varphi(E_{ji}\alpha)$
提示：注意 $E_{ij}$ 是矩阵，左乘向量时相当于将向量的第 $j$ 分量放到第 $i$ 位置。
步骤 2/7
目标：简化 $E_{ji}\alpha$
对于任意向量 $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)^T$，计算 $E_{ji}\alpha$。由于 $E_{ji}$ 只有第 $(j,i)$ 元素为1，左乘 $\alpha$ 得到向量，其第 $k$ 分量为 $(E_{ji}\alpha)_k = \delta_{jk} \alpha_i$，即 $E_{ji}\alpha = \alpha_i e_j$，其中 $e_j$ 是第 $j$ 个标准基向量。
公式：$E_{ji}\alpha = \alpha_i e_j$
提示：注意 $E_{ji}$ 的下标顺序：$j$ 是行，$i$ 是列，因此结果向量的非零分量在第 $j$ 行。
步骤 3/7
目标：应用线性性
由于 $\varphi$ 是线性变换，有 $\varphi(E_{ji}\alpha) = \varphi(\alpha_i e_j) = \alpha_i \varphi(e_j)$。代入 $f_\varphi$ 得 $f_\varphi(\alpha) = \sum_{i,j=1}^n E_{ij} (\alpha_i \varphi(e_j)) = \sum_{i,j=1}^n \alpha_i E_{ij} \varphi(e_j)$。
公式：$\varphi(E_{ji}\alpha) = \alpha_i \varphi(e_j)$
提示：线性性要求 $\varphi$ 是线性变换，这里将标量 $\alpha_i$ 提出。
步骤 4/7
目标：计算 $E_{ij} \varphi(e_j)$
设 $\varphi(e_j) = (a_{1j}, a_{2j}, \dots, a_{nj})^T$，即 $a_{kj}$ 是 $\varphi(e_j)$ 的第 $k$ 分量。计算 $E_{ij} \varphi(e_j)$：其第 $k$ 分量为 $(E_{ij} \varphi(e_j))_k = \delta_{ki} (\varphi(e_j))_j = \delta_{ki} a_{jj}$，因此 $E_{ij} \varphi(e_j) = a_{jj} e_i$。
公式：$E_{ij} \varphi(e_j) = a_{jj} e_i$
提示：注意 $E_{ij}$ 左乘向量时，只有第 $i$ 分量非零，且等于原向量的第 $j$ 分量。
步骤 5/7
目标：代入求和
将 $E_{ij} \varphi(e_j) = a_{jj} e_i$ 代入 $f_\varphi(\alpha) = \sum_{i,j=1}^n \alpha_i a_{jj} e_i = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n a_{jj} \right) \alpha_i e_i$。
公式：$f_\varphi(\alpha) = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n a_{jj} \right) \alpha_i e_i$
提示：注意求和顺序：先对 $j$ 求和得到常数，再对 $i$ 求和。
步骤 6/7
目标：识别迹
注意到 $\sum_{j=1}^n a_{jj}$ 是线性变换 $\varphi$ 在标准基下的矩阵的迹，记为 $\operatorname{tr} \varphi$。因此 $f_\varphi(\alpha) = (\operatorname{tr} \varphi) \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i = (\operatorname{tr} \varphi) \alpha$。
公式：$\operatorname{tr} \varphi = \sum_{j=1}^n a_{jj}$
提示：迹与基的选择无关，因此 $c_\varphi = \operatorname{tr} \varphi$ 是常数。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $f_\varphi = c_\varphi \operatorname{Id}$，其中 $c_\varphi = \operatorname{tr} \varphi$，$\operatorname{Id}$ 是恒等变换。
公式：$f_\varphi = (\operatorname{tr} \varphi) \operatorname{Id}$
提示：注意 $f_\varphi$ 是线性变换，且与 $\varphi$ 的迹成正比。
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