中山大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．（15 分）设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
4 & -15 & 6 \\
1 & -4 & 2 \\
1 & -5 & 3
\end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{C}) .
$$
求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 及 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle g(\lambda)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算特征多项式
计算 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda) = \det(\lambda I - A)$：
$$
\lambda I - A = \begin{pmatrix}
\lambda - 4 & 15 & -6 \\
-1 & \lambda + 4 & -2 \\
-1 & 5 & \lambda - 3
\end{pmatrix}.
$$
按第一行展开：
$$
\det(\lambda I - A) = (\lambda - 4) \begin{vmatrix} \lambda+4 & -2 \\ 5 & \lambda-3 \end{vmatrix} - 15 \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -1 & \lambda-3 \end{vmatrix} + (-6) \begin{vmatrix} -1 & \lambda+4 \\ -1 & 5 \end{vmatrix}.
$$
计算各子式：
$$
\begin{vmatrix} \lambda+4 & -2 \\ 5 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda+4)(\lambda-3) + 10 = \lambda^2 + \lambda - 2,
$$
$$
\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -1 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (-1)(\lambda-3) - (-2)(-1) = -\lambda + 1,
$$
$$
\begin{vmatrix} -1 & \lambda+4 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = (-1)\cdot 5 - (\lambda+4)(-1) = \lambda - 1.
$$
代入并化简：
$$
\det(\lambda I - A) = (\lambda - 4)(\lambda^2 + \lambda - 2) - 15(-\lambda + 1) - 6(\lambda - 1) = \lambda^3 - 3\lambda^2 + 3\lambda - 1 = (\lambda - 1)^3.
$$
因此特征值为 $\lambda = 1$，代数重数为 3。
公式：$$\det(\lambda I - A) = (\lambda - 1)^3$$
提示：展开行列式时注意符号，尤其是第二项系数为 -15，第三项系数为 -6。
步骤 2/5
目标：求特征值和代数重数
由特征多项式 $f(\lambda) = (\lambda - 1)^3$ 可知，$A$ 的特征值只有 $\lambda = 1$，且代数重数为 3。
提示：特征多项式是三次的，因式分解后得到三重根。
步骤 3/5
目标：求特征向量和几何重数
解齐次线性方程组 $(A - I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$：
$$
A - I = \begin{pmatrix}
3 & -15 & 6 \\
1 & -5 & 2 \\
1 & -5 & 2
\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}
1 & -5 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$
秩为 1，所以几何重数 = 3 - 1 = 2。
提示：行变换时注意第二行和第三行成比例，直接消去。
步骤 4/5
目标：确定Jordan标准形
几何重数为 2，说明有两个 Jordan 块。代数重数为 3，因此 Jordan 块的大小分别为 2 和 1。所以 Jordan 标准形为：
$$
J = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
公式：$$J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：Jordan块的大小由代数重数和几何重数决定：代数重数3，几何重数2，所以一个2阶块和一个1阶块。
步骤 5/5
目标：求最小多项式
最小多项式 $g(\lambda)$ 是特征多项式的因子，且对于每个特征值，其指数等于最大 Jordan 块的阶数。这里特征值 1 的最大 Jordan 块阶数为 2，所以 $g(\lambda) = (\lambda - 1)^2$。
公式：$$g(\lambda) = (\lambda - 1)^2$$
提示：最小多项式的次数等于最大Jordan块的阶数，而不是代数重数。
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