中山大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．（15 分）已知实数域上关于 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 的线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+a x_{2}+x_{3}=4 \\
b x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\
2 b x_{1}+x_{2}+x_{3}=4
\end{array}\right.
$$
有解，求 $\displaystyle a, b$ 的值，并求出方程组的解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出系数矩阵和增广矩阵
方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 + a x_2 + x_3 = 4 \\
b x_1 + x_2 + x_3 = 3 \\
2b x_1 + x_2 + x_3 = 4
\end{cases}
$$
系数矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ b & 1 & 1 \\ 2b & 1 & 1 \end{pmatrix}$，增广矩阵 $\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 4 \\ b & 1 & 1 & 3 \\ 2b & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$。
提示：注意增广矩阵最后一列是常数项，不要写错位置。
步骤 2/7
目标：对增广矩阵进行初等行变换
对 $\tilde{A}$ 进行初等行变换：
$$
\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 4 \\ b & 1 & 1 & 3 \\ 2b & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - bR_1, R_3 - 2bR_1} \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 4 \\ 0 & 1-ab & 1-b & 3-4b \\ 0 & 1-2ab & 1-2b & 4-8b \end{pmatrix}
$$
再作 $R_3 - R_2$：
$$
\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 4 \\ 0 & 1-ab & 1-b & 3-4b \\ 0 & -ab & -b & 1-4b \end{pmatrix}
$$
提示：行变换时注意系数不要算错，特别是 $1-2ab$ 减去 $1-ab$ 得到 $-ab$。
步骤 3/7
目标：讨论b=0的情况
若 $b=0$，则矩阵变为 $\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$（注意 $3-4b=3$，$1-4b=1$）。第三行对应方程 $0=1$，无解。因此 $b \neq 0$。
提示：b=0时，第三行第二个元素为0，第三个元素为0，常数项为1，直接得到矛盾。
步骤 4/7
目标：利用后两个方程简化求解
由原方程组后两个方程相减：$(2b x_1 + x_2 + x_3) - (b x_1 + x_2 + x_3) = 4-3$，得 $b x_1 = 1$。因为 $b \neq 0$，所以 $x_1 = \frac{1}{b}$。代入第二个方程：$b \cdot \frac{1}{b} + x_2 + x_3 = 1 + x_2 + x_3 = 3$，得 $x_2 + x_3 = 2$。代入第一个方程：$\frac{1}{b} + a x_2 + x_3 = 4$，即 $a x_2 + x_3 = 4 - \frac{1}{b}$。
提示：注意 $b \neq 0$ 是前提，否则不能除。
步骤 5/7
目标：讨论a=1的情况
若 $a=1$，则 $a x_2 + x_3 = x_2 + x_3 = 4 - \frac{1}{b}$。与 $x_2 + x_3 = 2$ 联立得 $2 = 4 - \frac{1}{b}$，解得 $b = \frac{1}{2}$。此时 $x_2 + x_3 = 2$，解不唯一，通解为 $x_1 = 2$，$x_2 = t$，$x_3 = 2 - t$（$t$ 为任意实数）。
提示：a=1时，两个方程变成同一个，需要检查常数项是否相等。
步骤 6/7
目标：讨论a≠1的情况
若 $a \neq 1$，则联立方程 $a x_2 + x_3 = 4 - \frac{1}{b}$ 与 $x_2 + x_3 = 2$。两式相减得 $(a-1)x_2 = 2 - \frac{1}{b}$，所以 $x_2 = \frac{2 - \frac{1}{b}}{a-1}$。代入 $x_2 + x_3 = 2$ 得 $x_3 = 2 - \frac{2 - \frac{1}{b}}{a-1}$。此时解唯一。
提示：注意分母 $a-1 \neq 0$，否则需单独讨论。
步骤 7/7
目标：总结方程组有解的条件和解的形式
方程组有解的条件是 $b \neq 0$，且当 $a=1$ 时还需 $b = \frac{1}{2}$。解的形式为：
- 若 $a \neq 1$，$b \neq 0$，唯一解：$x_1 = \frac{1}{b}$，$x_2 = \frac{2 - \frac{1}{b}}{a-1}$，$x_3 = 2 - \frac{2 - \frac{1}{b}}{a-1}$。
- 若 $a=1$，$b=\frac{1}{2}$，无穷多解：$x_1=2$，$x_2=t$，$x_3=2-t$（$t \in \mathbb{R}$）。
其他情况无解。
提示：注意 $b=0$ 时无解，不要遗漏。
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