云南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．已知整系数多项式 $x^{3}+x^{2}-8 x-b$ 有重根，且 $b>0$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解重根条件
多项式 $f(x)=x^{3}+x^{2}-8x-b$ 有重根，则存在 $x_0$ 使得 $f(x_0)=0$ 且 $f'(x_0)=0$，即 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式。
提示：重根条件：$f(x)$ 与 $f'(x)$ 有公因式，即存在 $x_0$ 同时满足 $f(x_0)=0$ 和 $f'(x_0)=0$。
步骤 2/5
目标：求导并解方程
计算 $f'(x)=3x^{2}+2x-8$。令 $f'(x)=0$，解二次方程 $3x^{2}+2x-8=0$，得 $x=2$ 或 $x=-\frac{4}{3}$。
公式：$f'(x)=3x^{2}+2x-8$
提示：求导时注意系数，解二次方程可用求根公式。
步骤 3/5
目标：检验第一个可能的重根
若 $x=2$ 是重根，则 $f(2)=0$。代入得 $2^{3}+2^{2}-8\cdot 2 - b = 8+4-16-b = -4-b=0$，解得 $b=-4$。但题目要求 $b>0$，故舍去。
公式：$f(2)=0 \Rightarrow -4-b=0$
提示：注意 $b>0$ 的条件，负数解需舍去。
步骤 4/5
目标：检验第二个可能的重根
若 $x=-\frac{4}{3}$ 是重根，则 $f\left(-\frac{4}{3}\right)=0$。代入计算：
$\left(-\frac{4}{3}\right)^{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-8\left(-\frac{4}{3}\right)-b = -\frac{64}{27}+\frac{16}{9}+\frac{32}{3}-b$。
通分：$-\frac{64}{27}+\frac{48}{27}+\frac{288}{27}-b = \frac{272}{27}-b=0$，解得 $b=\frac{272}{27}$，满足 $b>0$。
公式：$f\left(-\frac{4}{3}\right)=0 \Rightarrow \frac{272}{27}-b=0$
提示：分数计算需仔细通分，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，满足条件的 $b$ 值为 $\frac{272}{27}$。
提示：确认答案满足 $b>0$。
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