📝 云南大学 2026年高等代数真题

1．已知整系数多项式 $x^{3}+x^{2}-8 x-b$ 有重根，且 $b>0$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设 $A, B$ 是两个相似的三阶矩阵，$B$ 有特征值 $1,-1$ ，且 $|2 E+A|=0$ ，则 $|A+2 A B|=$ $\_\_\_\_$ ．

3．若 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，则 $A^{2026}=$ $\_\_\_\_$ ．

4．（可能有误）$n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和为 0 ，秩为 $n-1$ ，则 $A X=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

5．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+a_{1} x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+a_{2} x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+a_{3} x_{1}\right)^{2}$ 正定，则 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 需要满足 $\_\_\_\_$ ．

七．$\displaystyle \alpha, \beta$ 是欧氏空间中的两个不同的向量，且 $\displaystyle |\alpha|=|\beta|=1$ ，证明：$\displaystyle (\alpha, \beta) \neq 1$ ．

三．设矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2026 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．
（1）求 $B$ 的 Jordan 标准型，并证明 $B$ 的最小多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}$ ．
（2）证明：不存在矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{2}=B$ ．

二．设 $\displaystyle f(x)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，$\displaystyle f(-1), f(0), f(1)$ 不能被 3 整除，证明：$\displaystyle f(x)$ 无有理根．

五．非齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\
4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \\
a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1
\end{array}\right.
$$

有三个线性无关的解，记系数矩阵为 $A$ ．
（1）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=2$ ．
（2）求 $\displaystyle a, b$ 的值与方程组的通解．

六．设 $\displaystyle \tau$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是其 $n$ 个不同的特征值，证明：$\displaystyle \alpha, \tau(\alpha), \cdots, \tau^{n-1}(\alpha)$线性无关的充要条件是 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{i}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量．

四．（可能有误）二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3}$ 的矩阵记为 $\displaystyle A, A$ 的特征值之和为 1 ，积为 -12 ，求 $b$ 的值，并将二次型用正交线性替换化为标准形，写出正交变换矩阵。