云南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．设矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2026 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．
（1）求 $B$ 的 Jordan 标准型，并证明 $B$ 的最小多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}$ ．
（2）证明：不存在矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{2}=B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算矩阵B的秩和幂的秩
矩阵 $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2026 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 是上三角矩阵，特征值全为0。计算 $B$ 的秩：$\operatorname{rank}(B)=2$（第一、二行线性无关，第三行为零行）。计算 $B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2026 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为1。$B^3=0$，秩为0。
提示：注意 $B^2$ 的计算：$(B^2)_{13}=1\times2026=2026$，其余元素为0。
步骤 2/6
目标：确定Jordan标准型
特征值0的代数重数为3，几何重数为 $3-\operatorname{rank}(B)=3-2=1$，故Jordan块个数为1，即只有一个3阶Jordan块。因此Jordan标准型为 $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：几何重数 = 维数 - rank(B)
提示：几何重数等于特征空间维数，即 $\dim\ker(B-0I)=3-\operatorname{rank}(B)$。
步骤 3/6
目标：证明最小多项式为λ³
由于 $B$ 是幂零矩阵，且 $B^2 \neq 0$，$B^3=0$，所以最小多项式为 $\lambda^3$。
公式：最小多项式是使得 $f(B)=0$ 的次数最低的首一多项式
提示：注意 $B^2 \neq 0$ 排除了 $\lambda^2$ 的可能性。
步骤 4/6
目标：假设存在C满足C²=B，推导C的性质
假设存在 $3\times3$ 矩阵 $C$ 使得 $C^2=B$。由于 $B$ 幂零，$C$ 也幂零（否则 $B$ 可逆）。设 $C$ 的Jordan标准型为 $J_C$，则 $J_C^2$ 的Jordan标准型应与 $B$ 的Jordan标准型 $J$ 相似。
提示：幂零矩阵的Jordan标准型由Jordan块组成，特征值全为0。
步骤 5/6
目标：分析J_C²的Jordan标准型
若 $J_C$ 是3阶Jordan块 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $J_C^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，其Jordan标准型为 $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为1。而 $B$ 的Jordan标准型 $J$ 的秩为2，矛盾。若 $J_C$ 由两个或三个Jordan块组成，则 $J_C^2$ 的秩更小（0或1），同样矛盾。
公式：Jordan块的平方的秩：若块大小为k，则平方后秩为k-2（当k≥2）
提示：注意 $J_C^2$ 的Jordan标准型不一定等于 $J_C^2$ 本身，但秩相同。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此不存在矩阵 $C$ 使得 $C^2=B$。
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