云南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．若 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，则 $A^{2026}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别矩阵结构
观察矩阵 $A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$，发现它是分块对角矩阵，可以写成 $A=\begin{pmatrix}B & 0\\0 & -1\end{pmatrix}$，其中 $B=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}$。
提示：注意分块对角矩阵的幂等于各分块分别求幂。
步骤 2/6
目标：计算子块B的幂次规律
计算 $B^2 = \begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix} = -I_2$。进而 $B^4 = (B^2)^2 = (-I_2)^2 = I_2$，所以 $B$ 的周期为4。
公式：$B^2 = -I_2$，$B^4 = I_2$
提示：注意矩阵乘法顺序，不要算错。
步骤 3/6
目标：确定指数2026模4的余数
计算 $2026 \div 4$ 的余数：$2026 = 4 \times 506 + 2$，所以 $2026 \equiv 2 \pmod{4}$。
提示：模运算时注意余数范围0-3。
步骤 4/6
目标：计算B的2026次幂
由周期性和余数得 $B^{2026} = B^{4\times506+2} = (B^4)^{506} \cdot B^2 = I_2^{506} \cdot (-I_2) = -I_2$。
公式：$B^{2026} = -I_2$
提示：注意 $I_2^{506}=I_2$。
步骤 5/6
目标：计算右下角元素-1的2026次幂
右下角元素为 $-1$，其2026次幂为 $(-1)^{2026} = 1$，因为指数为偶数。
公式：$(-1)^{2026}=1$
提示：注意负数的偶次幂为正。
步骤 6/6
目标：组合得到A的2026次幂
由于 $A$ 是分块对角矩阵，$A^{2026} = \begin{pmatrix}B^{2026} & 0\\0 & (-1)^{2026}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-I_2 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$。
提示：分块对角矩阵的幂直接对各块求幂。
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