云南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．设 $\displaystyle f(x)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，$\displaystyle f(-1), f(0), f(1)$ 不能被 3 整除，证明：$\displaystyle f(x)$ 无有理根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定多项式形式并假设存在有理根
设 $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$，其中 $a_i \in \mathbb{Z}$。假设 $f(x)$ 有有理根 $\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 互质，$q>0$。
提示：注意首项系数为1，这是有理根定理应用的关键。
步骤 2/5
目标：应用有理根定理确定根为整数
由有理根定理，若 $\frac{p}{q}$ 是 $f(x)$ 的根，则 $p \mid a_0$，$q \mid 1$。由于 $q \mid 1$ 且 $q>0$，故 $q=1$。因此有理根必为整数根，设根为 $r \in \mathbb{Z}$，满足 $f(r)=0$。
公式：有理根定理：若 $\frac{p}{q}$ 是整系数多项式 $a_n x^n + \cdots + a_0$ 的根，则 $p \mid a_0$，$q \mid a_n$。
提示：注意 $q$ 整除首项系数，这里首项系数为1，所以 $q=1$。
步骤 3/5
目标：考虑模3条件
已知 $f(-1), f(0), f(1)$ 均不能被3整除，即 $f(-1) \not\equiv 0 \pmod{3}$，$f(0) \not\equiv 0 \pmod{3}$，$f(1) \not\equiv 0 \pmod{3}$。
提示：注意模3的等价类只有0,1,2。
步骤 4/5
目标：分类讨论整数根模3的三种情况
整数 $r$ 模3只有三种可能：$r \equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$。分别讨论：
- 若 $r \equiv 0 \pmod{3}$，则 $r=3k$，代入 $f(r)=0$ 得 $f(0) \equiv 0 \pmod{3}$，矛盾。
- 若 $r \equiv 1 \pmod{3}$，则 $r=3k+1$，则 $f(r) \equiv f(1) \equiv 0 \pmod{3}$，矛盾。
- 若 $r \equiv 2 \pmod{3}$，则 $r=3k+2$，注意 $2 \equiv -1 \pmod{3}$，故 $f(r) \equiv f(-1) \equiv 0 \pmod{3}$，矛盾。
公式：模运算性质：若 $a \equiv b \pmod{m}$，则 $f(a) \equiv f(b) \pmod{m}$。
提示：注意 $2 \equiv -1 \pmod{3}$，所以 $f(2) \equiv f(-1) \pmod{3}$。
步骤 5/5
目标：得出结论
所有可能的整数根情况均导致矛盾，因此不存在整数根。由有理根定理，所有有理根必为整数根，故 $f(x)$ 无有理根。
提示：注意有理根定理的逆否命题：若没有整数根，则没有有理根。
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