云南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+a_{1} x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+a_{2} x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+a_{3} x_{1}\right)^{2}$ 正定，则 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 需要满足 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：展开二次型并写出矩阵
将二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = (x_1 + a_1 x_2)^2 + (x_2 + a_2 x_3)^2 + (x_3 + a_3 x_1)^2$ 展开：
\[
f = x_1^2 + 2a_1 x_1 x_2 + a_1^2 x_2^2 + x_2^2 + 2a_2 x_2 x_3 + a_2^2 x_3^2 + x_3^2 + 2a_3 x_3 x_1 + a_3^2 x_1^2
\]
整理得：
\[
f = (1+a_3^2)x_1^2 + (1+a_1^2)x_2^2 + (1+a_2^2)x_3^2 + 2a_1 x_1 x_2 + 2a_2 x_2 x_3 + 2a_3 x_3 x_1
\]
其矩阵为：
\[
A = \begin{pmatrix}
1+a_3^2 & a_1 & a_3 \\
a_1 & 1+a_1^2 & a_2 \\
a_3 & a_2 & 1+a_2^2
\end{pmatrix}
\]
公式：二次型 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 为对称矩阵
提示：注意交叉项系数要除以2，但这里矩阵元素直接取交叉项系数的一半？实际上，$2a_1 x_1 x_2$ 对应矩阵中 $a_1$ 和 $a_1$，因为 $x_1 x_2$ 系数为 $2a_1$，所以 $A_{12}=A_{21}=a_1$。
步骤 2/5
目标：利用顺序主子式判断正定性
二次型正定当且仅当矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式大于0。
一阶主子式：$1+a_3^2 > 0$ 恒成立。
二阶主子式：
\[
\begin{vmatrix}
1+a_3^2 & a_1 \\
a_1 & 1+a_1^2
\end{vmatrix} = (1+a_3^2)(1+a_1^2) - a_1^2 = 1 + a_1^2 + a_3^2 + a_1^2 a_3^2 - a_1^2 = 1 + a_3^2 + a_1^2 a_3^2 > 0
\]
恒成立。
公式：顺序主子式：$\Delta_k = \det(A_{1:k,1:k})$
提示：一阶和二阶主子式恒正，因此只需考虑三阶主子式。
步骤 3/5
目标：计算三阶主子式（行列式）
计算 $\det A$：
\[
\det A = \begin{vmatrix}
1+a_3^2 & a_1 & a_3 \\
a_1 & 1+a_1^2 & a_2 \\
a_3 & a_2 & 1+a_2^2
\end{vmatrix}
\]
按第一行展开：
\[
\det A = (1+a_3^2)\begin{vmatrix}1+a_1^2 & a_2 \\ a_2 & 1+a_2^2\end{vmatrix} - a_1\begin{vmatrix}a_1 & a_2 \\ a_3 & 1+a_2^2\end{vmatrix} + a_3\begin{vmatrix}a_1 & 1+a_1^2 \\ a_3 & a_2\end{vmatrix}
\]
计算各子式：
\[
\begin{vmatrix}1+a_1^2 & a_2 \\ a_2 & 1+a_2^2\end{vmatrix} = (1+a_1^2)(1+a_2^2) - a_2^2 = 1 + a_1^2 + a_1^2 a_2^2
\]
\[
\begin{vmatrix}a_1 & a_2 \\ a_3 & 1+a_2^2\end{vmatrix} = a_1(1+a_2^2) - a_2 a_3 = a_1 + a_1 a_2^2 - a_2 a_3
\]
\[
\begin{vmatrix}a_1 & 1+a_1^2 \\ a_3 & a_2\end{vmatrix} = a_1 a_2 - a_3(1+a_1^2) = a_1 a_2 - a_3 - a_3 a_1^2
\]
公式：行列式展开公式
提示：注意符号：展开时 $(-1)^{1+2} = -1$，所以第二项是减号；第三项 $(-1)^{1+3}=1$，所以加号。
步骤 4/5
目标：化简行列式
代入并展开：
\[
\det A = (1+a_3^2)(1 + a_1^2 + a_1^2 a_2^2) - a_1(a_1 + a_1 a_2^2 - a_2 a_3) + a_3(a_1 a_2 - a_3 - a_3 a_1^2)
\]
\[
= (1+a_3^2)(1 + a_1^2 + a_1^2 a_2^2) - a_1^2 - a_1^2 a_2^2 + a_1 a_2 a_3 + a_1 a_2 a_3 - a_3^2 - a_3^2 a_1^2
\]
\[
= (1+a_3^2)(1 + a_1^2 + a_1^2 a_2^2) - a_1^2 - a_1^2 a_2^2 - a_3^2 - a_3^2 a_1^2 + 2a_1 a_2 a_3
\]
展开 $(1+a_3^2)$：
\[
= (1 + a_1^2 + a_1^2 a_2^2) + a_3^2(1 + a_1^2 + a_1^2 a_2^2) - a_1^2 - a_1^2 a_2^2 - a_3^2 - a_3^2 a_1^2 + 2a_1 a_2 a_3
\]
\[
= 1 + a_1^2 + a_1^2 a_2^2 + a_3^2 + a_1^2 a_3^2 + a_1^2 a_2^2 a_3^2 - a_1^2 - a_1^2 a_2^2 - a_3^2 - a_1^2 a_3^2 + 2a_1 a_2 a_3
\]
消去项：
\[
= 1 + a_1^2 a_2^2 a_3^2 + 2a_1 a_2 a_3 = (1 + a_1 a_2 a_3)^2
\]
公式：完全平方公式 $(1+abc)^2 = 1 + 2abc + a^2b^2c^2$
提示：化简过程中注意合并同类项，最终结果简洁。
步骤 5/5
目标：得出正定条件
三阶主子式 $\det A = (1 + a_1 a_2 a_3)^2$。正定要求 $\det A > 0$，即 $(1 + a_1 a_2 a_3)^2 > 0$，等价于 $1 + a_1 a_2 a_3 \neq 0$。
当 $1 + a_1 a_2 a_3 = 0$ 时，$\det A = 0$，二次型半正定，但存在非零向量使 $f=0$（如解齐次线性方程组 $x_1 + a_1 x_2 = 0, x_2 + a_2 x_3 = 0, x_3 + a_3 x_1 = 0$，系数行列式 $1 + a_1 a_2 a_3 = 0$ 时有非零解），故非正定。
因此，$f$ 正定的充要条件是 $1 + a_1 a_2 a_3 \neq 0$。
公式：正定二次型的充要条件：所有顺序主子式 > 0
提示：注意 $\det A = 0$ 时二次型是半正定而非正定，必须排除。
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