云南大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．（可能有误）二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3}$ 的矩阵记为 $\displaystyle A, A$ 的特征值之和为 1 ，积为 -12 ，求 $b$ 的值，并将二次型用正交线性替换化为标准形，写出正交变换矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f = x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_3^2 + 2b x_1 x_3$ 的矩阵为对称矩阵 $A$，其中 $a_{11}=1$, $a_{22}=2$, $a_{33}=-2$，交叉项 $2b x_1 x_3$ 对应 $a_{13}=a_{31}=b$，其余为0。因此
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 2 & 0 \\ b & 0 & -2 \end{pmatrix}. $$
公式：二次型矩阵的构造规则：平方项系数对应主对角线元素，交叉项系数一半对应非对角线元素
提示：注意交叉项 $2b x_1 x_3$ 的系数 $2b$ 应平分到 $a_{13}$ 和 $a_{31}$，即各为 $b$。
步骤 2/6
目标：利用特征值条件求参数 b
设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$。已知特征值之和为1，积为-12。
特征值之和等于矩阵的迹：$\operatorname{tr}(A) = 1 + 2 + (-2) = 1$，与条件一致，自动满足。
特征值之积等于行列式：$\det(A) = -12$。计算行列式：
$$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 2 & 0 \\ b & 0 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} - 0 + b \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ b & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot (-2) - 0) + b \cdot (0 \cdot 0 - 2 \cdot b) = -4 - 2b^2. $$
令 $-4 - 2b^2 = -12$，得 $-2b^2 = -8$，$b^2 = 4$，所以 $b = \pm 2$。
公式：特征值之和等于矩阵的迹，特征值之积等于矩阵的行列式
提示：计算行列式时注意符号，尤其是代数余子式的符号。
步骤 3/6
目标：求特征值
取 $b = 2$（$b = -2$ 类似，仅符号不同）。则
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}. $$
解特征方程 $\det(\lambda I - A) = 0$：
$$ \det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 & -2 \\ 0 & \lambda-2 & 0 \\ -2 & 0 & \lambda+2 \end{vmatrix} = (\lambda-2) \begin{vmatrix} \lambda-1 & -2 \\ -2 & \lambda+2 \end{vmatrix} = (\lambda-2)[(\lambda-1)(\lambda+2) - 4] = (\lambda-2)(\lambda^2 + \lambda - 6) = (\lambda-2)(\lambda+3)(\lambda-2) = (\lambda-2)^2(\lambda+3). $$
特征值为 $\lambda_1 = \lambda_2 = 2$（二重），$\lambda_3 = -3$。
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A)=0$
提示：计算行列式时，利用行或列的展开简化计算，注意因式分解。
步骤 4/6
目标：求特征向量并正交化单位化
对于 $\lambda = 2$：解 $(2I - A)\mathbf{x} = 0$。
$$ 2I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$
得 $x_1 - 2x_3 = 0$，即 $x_1 = 2x_3$，$x_2$ 自由。基础解系：取 $x_3=1, x_2=0$ 得 $\xi_1 = (2,0,1)^T$；取 $x_3=0, x_2=1$ 得 $\xi_2 = (0,1,0)^T$。正交化：$\xi_1, \xi_2$ 已正交（内积为0），单位化：
$$ \eta_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}(2,0,1)^T, \quad \eta_2 = (0,1,0)^T. $$
对于 $\lambda = -3$：解 $(-3I - A)\mathbf{x} = 0$。
$$ -3I - A = \begin{pmatrix} -4 & 0 & -2 \\ 0 & -5 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$
得 $2x_1 + x_3 = 0$，$x_2 = 0$，取 $x_1=1$，则 $x_3=-2$，得 $\xi_3 = (1,0,-2)^T$，单位化：
$$ \eta_3 = \frac{1}{\sqrt{5}}(1,0,-2)^T. $$
公式：解齐次线性方程组 $(\lambda I - A)\mathbf{x}=0$ 求特征向量；施密特正交化；单位化
提示：对于重特征值，需确保特征向量正交化；单位化时注意模长计算。
步骤 5/6
目标：构造正交变换矩阵并写出标准形
正交变换矩阵 $Q$ 由单位正交特征向量构成，按特征值顺序排列：
$$ Q = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}. $$
正交线性替换 $\mathbf{x} = Q\mathbf{y}$ 将二次型化为标准形：
$$ f = 2y_1^2 + 2y_2^2 - 3y_3^2. $$
公式：正交变换 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$ 化二次型为标准形，标准形系数为特征值
提示：正交矩阵的列向量需标准正交，且行列式为+1（若为-1可调整列顺序或符号）。
步骤 6/6
目标：总结答案
参数 $b = \pm 2$。当 $b=2$ 时，标准形为 $2y_1^2+2y_2^2-3y_3^2$，正交变换矩阵为 $Q$。当 $b=-2$ 时，矩阵 $A$ 的非对角元变为 $-2$，特征值相同，但特征向量符号变化，标准形不变。
提示：注意 $b$ 有两个可能值，但标准形和正交矩阵形式类似，仅符号差异。
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