北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1． $2 n$ 级排列 $13 \cdots(2 n-1)(2 n)(2 n-2) \cdots 42$ 的逆序数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解排列结构
排列为 $13\cdots(2n-1)(2n)(2n-2)\cdots42$。前 $n$ 个数是奇数 $1,3,\ldots,2n-1$ 递增排列，后 $n$ 个数是偶数 $2n,2n-2,\ldots,4,2$ 递减排列。
提示：注意奇数和偶数部分的分界，以及各自的顺序。
步骤 2/6
目标：定义逆序数
逆序数定义为排列中所有数对 $(i,j)$ 满足 $i a_j$ 的个数。我们分别计算奇数部分和偶数部分内部以及之间的逆序。
公式：逆序数 $\tau = \sum_{i=1}^{2n} \#\{j>i: a_i > a_j\}$
提示：注意统计时不要遗漏或重复。
步骤 3/6
目标：计算奇数部分对偶数部分的逆序
对于奇数 $2k-1$（$k=1,\ldots,n$），它后面所有偶数都比它小吗？实际上，偶数 $2m$ 小于 $2k-1$ 当且仅当 $m \le k-1$。由于所有偶数都在奇数后面，所以奇数 $2k-1$ 后面比它小的偶数有 $2,4,\ldots,2(k-1)$，共 $k-1$ 个。因此奇数部分贡献的逆序数为 $\sum_{k=1}^n (k-1) = \frac{n(n-1)}{2}$。
公式：$\sum_{k=1}^n (k-1) = \frac{n(n-1)}{2}$
提示：注意奇数与偶数的大小关系：奇数不一定小于所有偶数，例如 $3>2$。
步骤 4/6
目标：计算偶数部分内部的逆序
偶数部分为递减排列：$2n, 2n-2, \ldots, 4, 2$。对于偶数 $2m$（$m=1,\ldots,n$），它后面比它小的偶数有 $2m-2, 2m-4, \ldots, 2$，共 $m-1$ 个。因此偶数部分内部贡献的逆序数为 $\sum_{m=1}^n (m-1) = \frac{n(n-1)}{2}$。
公式：$\sum_{m=1}^n (m-1) = \frac{n(n-1)}{2}$
提示：注意偶数部分内部是逆序的，每个偶数后面有 $m-1$ 个更小的偶数。
步骤 5/6
目标：计算奇数部分内部的逆序
奇数部分为递增排列：$1,3,\ldots,2n-1$，内部没有逆序，因为递增。
提示：递增排列的逆序数为0。
步骤 6/6
目标：求和得到总逆序数
总逆序数为奇数部分对偶数部分的逆序加上偶数部分内部的逆序：$\frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$。
公式：$n(n-1)$
提示：注意不要遗漏奇数部分内部的逆序（为0）。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。