📝 北京交通大学 2022年高等代数真题

1． $2 n$ 级排列 $13 \cdots(2 n-1)(2 n)(2 n-2) \cdots 42$ 的逆序数为 $\_\_\_\_$ ．

2．设 4 阶方阵 $A, B$ 的伴随矩阵为 $A^{*}, B^{*}$ ，且它们的秩为 $r(A)=3, r(B)=4$ ，则秩 $\left(A^{*} B^{*}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 正定，则实常数 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

4．设 $n$ 维列向量 $\alpha=(x, 0, \cdots, 0, x)^{T}(x<0)$ ，矩阵 $A=E-\alpha \alpha^{T}$ ，且 $\displaystyle A^{-1}=E+\frac{1}{x} \alpha \alpha^{T}$ ，其中 $E$ 是单位矩阵，则 $x=$ $\_\_\_\_$ ．

5．已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 \lambda x_{2} x_{3}(\lambda>0)$ 经过正交变换 $X=Q Y$ 化为标准形 $y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$ ，则实参数 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ ．

6．设 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵，且 $|A|=2,|B|=3$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

7．设 $|A|$ 为 $n$ 阶行列式，其元素 $a_{i j}=|i-j|$（指绝对值），则行列式 $|A|=$ $\_\_\_\_$ ．

8．多项式 $f(x)=2 x^{4}-2 x^{3}-9 x^{2}-8 x-3$ 的有理根为 $\_\_\_\_$。

9．正交变换的特征值为 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $\alpha_{1}=(1,1,1,2)^{T}, \alpha_{2}=(4,6,2 a+7,10)^{T}, \alpha_{3}=(3, a+4,2 a+5, a+7)^{T}, \beta=(2,3,2 a+3,5)^{T}$ ，若 $\beta$ 不能用 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

七．（15 分）设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 线性无关，且

$$
\xi_{i}=a_{1 i} \beta_{1}+a_{2 i} \beta_{2}+\cdots+a_{m i} \beta_{m}(i=1,2, \cdots, s) .
$$

证明：向量组 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s}$ 的秩 $\displaystyle =$ 矩阵 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)_{m \times v}$ 的秩。
人．（ 15 分）证明：若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是正交矩阵 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle \lambda_{0}^{-1}$ 也是 $A$ 的特征值。

三．（ 15 分）问常数 $\displaystyle a, b$ 各取何值时，方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\
x_{2}-x_{3}+2 x_{4}=1 \\
2 x_{1}+3 x_{2}+(a+2) x_{3}+4 x_{4}=b+3 \\
3 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+(a+8) x_{4}=5
\end{array}\right.
$$

无解，有唯一解或有无穷多解，并在有无穷多解时，写出其一般解。

九．（ 15 分）设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A-B$ 。证明：
（1）$\displaystyle \lambda=1$ 不是 $B$ 的特征值：
（2）若 $B$ 相似于对角矩阵，则有可逆矩降 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 与 $\displaystyle T^{-1} B T$ 均为对角矩阵．

二．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, A_{i j}$ 为行列式 $\displaystyle |A|$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，且 $\displaystyle A_{i j}=a_{i j}$ ，又 $\displaystyle a_{11} \neq 0$ ，求 $\displaystyle |A|$ 。

六．（15 分）设 $\displaystyle \Phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，证明：$\displaystyle \Phi$ 的秩 $\displaystyle +\Phi$ 的零度 $\displaystyle =n$ 。

四．（ 15 分）设矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a & -2 & 0 \\
b & 1 & -2 \\
c & -2 & 0
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}\right) .
$$

（1）若 $A$ 有特征值 $\displaystyle 4,1,-2$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ ；
（2）设 $\displaystyle \alpha=(1, k, 1)^{T}$ 是 $\displaystyle B^{-1}$ 的一个特征向量，求 $k$ ．
五。（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 正定，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值都是实数。