北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
三．（ 15 分）问常数 $\displaystyle a, b$ 各取何值时，方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\
x_{2}-x_{3}+2 x_{4}=1 \\
2 x_{1}+3 x_{2}+(a+2) x_{3}+4 x_{4}=b+3 \\
3 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+(a+8) x_{4}=5
\end{array}\right.
$$
无解，有唯一解或有无穷多解，并在有无穷多解时，写出其一般解。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & a+2 & 4 & b+3 \\
3 & 5 & 1 & a+8 & 5
\end{pmatrix}
$$
提示：注意增广矩阵的最后一列是常数项，不要遗漏。
步骤 2/7
目标：初等行变换：消去第一列下方元素
进行行变换：$R_3 - 2R_1$，$R_4 - 3R_1$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & a & 2 & b+1 \\
0 & 2 & -2 & a+5 & 2
\end{pmatrix}
$$
提示：注意第三行和第四行变换时，常数项也要相应减去。
步骤 3/7
目标：初等行变换：消去第二列下方元素
进行行变换：$R_3 - R_2$，$R_4 - 2R_2$，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & a+1 & 0 & b \\
0 & 0 & 0 & a+1 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：注意第三行和第四行变换后，第三行第三列变为$a+1$，第四行第四列变为$a+1$。
步骤 4/7
目标：讨论参数a：唯一解情况
当$a+1 \neq 0$，即$a \neq -1$时，系数矩阵的秩为4，增广矩阵的秩也为4，方程组有唯一解。
提示：注意系数矩阵是方阵，秩等于未知数个数时有唯一解。
步骤 5/7
目标：讨论参数a：无解或无穷多解情况
当$a = -1$时，矩阵变为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & b \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
此时，若$b \neq 0$，则系数矩阵秩为2，增广矩阵秩为3，方程组无解；若$b = 0$，则系数矩阵秩为2，增广矩阵秩为2，方程组有无穷多解。
提示：注意第三行对应方程$0 = b$，当$b \neq 0$时矛盾。
步骤 6/7
目标：无穷多解时求一般解
当$a = -1, b = 0$时，方程组化为：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 \\
x_2 - x_3 + 2x_4 = 1
\end{cases}
$$
取$x_3, x_4$为自由变量，令$x_3 = c_1$，$x_4 = c_2$，则$x_2 = 1 + c_1 - 2c_2$，$x_1 = 1 - x_2 - x_3 - x_4 = 1 - (1 + c_1 - 2c_2) - c_1 - c_2 = -2c_1 + c_2$。
一般解为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix}
-2 \\ 1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}, \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R}.
$$
提示：注意自由变量的选取，一般解中特解和基础解系要正确。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述：
- 当$a \neq -1$时，方程组有唯一解；
- 当$a = -1$且$b \neq 0$时，方程组无解；
- 当$a = -1$且$b = 0$时，方程组有无穷多解，一般解如上。
提示：注意分类讨论要完整，不要遗漏情况。
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