北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $n$ 维列向量 $\alpha=(x, 0, \cdots, 0, x)^{T}(x<0)$ ，矩阵 $A=E-\alpha \alpha^{T}$ ，且 $\displaystyle A^{-1}=E+\frac{1}{x} \alpha \alpha^{T}$ ，其中 $E$ 是单位矩阵，则 $x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别矩阵结构并应用秩1逆公式
已知 $A = E - \alpha \alpha^T$，其中 $\alpha$ 是列向量，因此 $\alpha \alpha^T$ 是秩1矩阵。对于形如 $E - uv^T$ 的矩阵，其逆矩阵公式为 $(E - uv^T)^{-1} = E + \frac{uv^T}{1 - v^T u}$，其中 $u, v$ 是列向量。这里 $u = \alpha$，$v = \alpha$，所以 $A^{-1} = E + \frac{\alpha \alpha^T}{1 - \alpha^T \alpha}$。
公式：(E - uv^T)^{-1} = E + \frac{uv^T}{1 - v^T u}
提示：注意公式中分母是 $1 - v^T u$，而不是 $1 - u^T v$，但这里 $v^T u = u^T v$ 是标量，所以相同。
步骤 2/5
目标：比较已知逆矩阵表达式
题目给出 $A^{-1} = E + \frac{1}{x} \alpha \alpha^T$。与上一步得到的表达式 $A^{-1} = E + \frac{1}{1 - \alpha^T \alpha} \alpha \alpha^T$ 比较，可得 $\frac{1}{1 - \alpha^T \alpha} = \frac{1}{x}$，即 $1 - \alpha^T \alpha = x$。
提示：注意 $\alpha \alpha^T$ 的系数必须相等，因为 $\alpha \alpha^T$ 非零。
步骤 3/5
目标：计算内积 $\alpha^T \alpha$
已知 $\alpha = (x, 0, \cdots, 0, x)^T$，则 $\alpha^T \alpha = x^2 + 0^2 + \cdots + 0^2 + x^2 = 2x^2$。
公式：\alpha^T \alpha = \sum_{i=1}^n \alpha_i^2
提示：注意向量维度为 $n$，但只有第一个和最后一个分量非零。
步骤 4/5
目标：建立关于 $x$ 的方程
代入 $\alpha^T \alpha = 2x^2$ 到 $1 - \alpha^T \alpha = x$，得 $1 - 2x^2 = x$，整理得 $2x^2 + x - 1 = 0$。
提示：移项时注意符号：$1 - 2x^2 = x$ 等价于 $2x^2 + x - 1 = 0$。
步骤 5/5
目标：解二次方程并筛选根
解方程 $2x^2 + x - 1 = 0$，判别式 $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$，所以 $x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$，得 $x = \frac{1}{2}$ 或 $x = -1$。由于题目条件 $x < 0$，故 $x = -1$。
公式：x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
提示：注意题目中 $x<0$ 的条件，舍去正根。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。