北京交通大学 2022年高等代数第0题

由题意，$\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，等价于线性方程组 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = \beta$ 无解。设矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，增广矩阵 $\tilde{A} = (A, \beta)$，则无解当且仅当 $\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}(\tilde{A})$。写出增广矩阵： $$\tilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 6 & a+4 & 3 \\ 1 & 2a+7 & 2a+5 & 2a+3 \\ 2 & 10 & a+7 & 5 \end{pmatrix}.$$

对 $\tilde{A}$ 进行初等行变换： $r_2 - r_1$, $r_3 - r_1$, $r_4 - 2r_1$ 得： $$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & a+1 & 1 \\ 0 & 2a+3 & 2a+2 & 2a+1 \\ 0 & 2 & a+1 & 1 \end{pmatrix}.$$ 再 $r_4 - r_2$ 得： $$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & a+1 & 1 \\ 0 & 2a+3 & 2a+2 & 2a+1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

对第三行进行变换，消去第二列元素。计算 $r_3 - \frac{2a+3}{2} r_2$，为避免分数，先乘以2： $2r_3 - (2a+3)r_2$ 得第三行新元素： 第二列：$2(2a+3) - (2a+3)\cdot 2 = 0$； 第三列：$2(2a+2) - (2a+3)(a+1) = 4a+4 - (2a^2+5a+3) = -2a^2 - a + 1$； 第四列：$2(2a+1) - (2a+3)\cdot 1 = 4a+2 - 2a - 3 = 2a - 1$。 因此矩阵化为： $$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & a+1 & 1 \\ 0 & 0 & -2a^2 - a + 1 & 2a - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

矩阵 $A$ 由前三列构成，增广矩阵 $\tilde{A}$ 包含第四列。要使 $\operatorname{rank}(A) < \operatorname{rank}(\tilde{A})$，必须出现 $A$ 的某行全为零而 $\tilde{A}$ 对应行第四列非零的情况。观察第三行：若 $-2a^2 - a + 1 = 0$ 且 $2a - 1 \neq 0$，则 $A$ 的第三行全零，而 $\tilde{A}$ 的第三行第四列非零，从而 $\operatorname{rank}(A)=2$，$\operatorname{rank}(\tilde{A})=3$，满足条件。

解方程 $-2a^2 - a + 1 = 0$，即 $2a^2 + a - 1 = 0$，因式分解得 $(2a-1)(a+1)=0$，解得 $a = \frac{1}{2}$ 或 $a = -1$。 当 $a = \frac{1}{2}$ 时，$2a-1 = 0$，第三行全零，秩相等，方程组有解，不符合条件。 当 $a = -1$ 时，$2a-1 = -3 \neq 0$，满足条件。 因此 $a = -1$。

将 $a=-1$ 代入原向量： $\alpha_2 = (4,6,5,10)^T$，$\alpha_3 = (3,3,3,6)^T$，$\beta = (2,3,1,5)^T$。 易见 $\alpha_3 = 3\alpha_1$，故 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，秩为2。而 $\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表出（例如前两个分量矛盾），故增广矩阵秩为3，满足条件。