北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵，且 $|A|=2,|B|=3$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别矩阵结构
给定矩阵 $C = \begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$，其中 $O$ 是 $n$ 阶零矩阵，$A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶方阵。这是一个 $2n$ 阶的分块矩阵。
提示：注意分块矩阵的维度：左上和右下块是零矩阵，右上和左下块分别是 $A$ 和 $B$。
步骤 2/7
目标：应用拉普拉斯展开定理
对于形如 $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}$ 的分块矩阵，其行列式可以通过拉普拉斯展开或行列式的性质计算。一种常见方法是利用行列式的行交换性质。
提示：拉普拉斯展开适用于分块矩阵，但需要小心符号。
步骤 3/7
目标：通过行交换转化为块对角矩阵
将矩阵 $C$ 的第 $n+1$ 行依次与第 $n$ 行、第 $n-1$ 行、...、第 $1$ 行交换，共进行 $n$ 次相邻行交换，使得 $B$ 块移动到左上角。每次交换改变一次符号，因此符号因子为 $(-1)^n$。交换后得到矩阵 $\begin{pmatrix} B & O \\ O & A \end{pmatrix}$。
提示：行交换次数为 $n$，因为需要将 $B$ 的每一行都移到上面。注意是相邻行交换，每次交换行列式变号。
步骤 4/7
目标：计算块对角矩阵的行列式
对于块对角矩阵 $\begin{pmatrix} B & O \\ O & A \end{pmatrix}$，其行列式等于对角块行列式的乘积，即 $|B| \cdot |A|$。
公式：$\begin{vmatrix} B & O \\ O & A \end{vmatrix} = |B| \cdot |A|$
提示：块对角矩阵的行列式等于各块行列式的乘积，前提是块是方阵。
步骤 5/7
目标：考虑符号因子
由于进行了 $n$ 次行交换，行列式乘以 $(-1)^n$。因此原行列式为 $(-1)^n |B| \cdot |A|$。
公式：$\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^n |A| \cdot |B|$
提示：注意符号因子 $(-1)^n$ 与 $n$ 的奇偶性有关。
步骤 6/7
目标：代入已知数值
已知 $|A|=2$，$|B|=3$，代入得 $(-1)^n \cdot 2 \cdot 3 = 6(-1)^n$。
提示：最终结果包含 $(-1)^n$，不要遗漏。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此，$\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = 6(-1)^n$。
提示：答案应写成 $6(-1)^n$ 或 $(-1)^n \cdot 6$。
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