北京交通大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
六．（15 分）设 $\displaystyle \Phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，证明：$\displaystyle \Phi$ 的秩 $\displaystyle +\Phi$ 的零度 $\displaystyle =n$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\Phi$ 是 $V$ 上的线性变换。我们需要证明 $\operatorname{rank}\Phi + \operatorname{null}\Phi = n$。
提示：注意线性变换的定义：保持加法和数乘。
步骤 2/7
目标：引入像空间和核空间
定义像空间 $\operatorname{Im}\Phi = \{\Phi(v) \mid v \in V\}$，核空间 $\ker\Phi = \{v \in V \mid \Phi(v)=0\}$。它们都是 $V$ 的子空间。
提示：像空间是 $V$ 的子空间，核空间也是 $V$ 的子空间。
步骤 3/7
目标：回忆秩-零度定理
秩-零度定理：对于有限维线性空间上的线性变换，有 $\dim \operatorname{Im}\Phi + \dim \ker\Phi = \dim V$。
公式：\dim \operatorname{Im}\Phi + \dim \ker\Phi = \dim V
提示：该定理的证明通常通过取核空间的一组基并扩充为全空间的基来完成。
步骤 4/7
目标：应用秩-零度定理
由于 $\dim V = n$，代入秩-零度定理得 $\dim \operatorname{Im}\Phi + \dim \ker\Phi = n$。
公式：\dim \operatorname{Im}\Phi + \dim \ker\Phi = n
提示：注意 $\dim V = n$ 是已知条件。
步骤 5/7
目标：定义秩和零度
线性变换 $\Phi$ 的秩定义为 $\operatorname{rank}\Phi = \dim \operatorname{Im}\Phi$，零度定义为 $\operatorname{null}\Phi = \dim \ker\Phi$。
公式：\operatorname{rank}\Phi = \dim \operatorname{Im}\Phi, \quad \operatorname{null}\Phi = \dim \ker\Phi
提示：秩和零度都是非负整数。
步骤 6/7
目标：代入得到结论
将秩和零度的定义代入 $\dim \operatorname{Im}\Phi + \dim \ker\Phi = n$，即得 $\operatorname{rank}\Phi + \operatorname{null}\Phi = n$。
公式：\operatorname{rank}\Phi + \operatorname{null}\Phi = n
提示：这是线性代数中的基本定理之一。
步骤 7/7
目标：总结证明
因此，对于 $n$ 维线性空间 $V$ 上的任意线性变换 $\Phi$，其秩与零度之和等于 $n$。
提示：该结论适用于有限维线性空间。
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